kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．不恒为零的函数 $f(x)=\left|\begin{array}{lll}a_{1}+x & b_{1}+x & c_{1}+x \\ a_{2}+x & b_{2}+x & c_{2}+x \\ a_{3}+x & b_{3}+x & c_{3}+x\end{array}\right| \quad$ ）． （A）没有零点 （B）至多有 1 个零点 （C）恰有 2 个零点 （D）恰有 3 个零点
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：将行列式按列拆分为两个行列式之和： $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + x\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + x^2\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| + \cdots$ 步骤2：由行列式性质，每两行相同则行列式为0，故$f(x)$是$x$的一次函数（常数项为原行列式，一次项系数为三个含一行1的行列式之和）。 步骤3：一次函数不恒为零，至多有一个零点。
**难度**：★★★☆☆