线性代数

共 198 道题目

4 📝 有解析

### 第4题设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是（A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．（C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解．（D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．

649 📝 有解析

### 第649题设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1, \boldsymbol{n}$ 为 $L$ 的外法线向量，$\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{12}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} s$ 等于（A） 0 ．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（C）$\pi$ ．（D）$-\pi$ ． ## －纠错笔记

650 📝 有解析

### 第650题设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为该球面外法线向量的方向余弦，则 $\oiint_{\Sigma}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ 等于（A） $4 \pi R^{5}$ ．（B） $2 \pi R^{3}$ ．（C） $3 \pi R^{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{12 \pi R^{5}}{5}$ ． ## －纠错笔记

656 📝 有解析

### 第656题函数 $\displaystyle f(x, y)=\arctan \frac{y}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的梯度向量为（A）$-\boldsymbol{i}$ ．（B） $\boldsymbol{i}$ ．（C）$-j$ ．（D） $\boldsymbol{j}$ ．

657 📝 有解析

### 第657题设可微函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的梯度向量为 $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{l}=(0,2,2)$ 为一常向量，且 $\boldsymbol{g} \cdot \boldsymbol{l}=1$ ，则函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}$ 方向的方向导数等于（A） $2 \sqrt{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ．（C）$-2 \sqrt{2}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ．

591 📝 有解析

### 第591题设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \neq \mathbf{0}$ ，若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，则 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=$ $\_\_\_\_$ ．

615 📝 有解析

### 第615题向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$。

1 📝 有解析

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $a, b, c$ 是方程 $x^{3}-2 x+4=0$ 的三个根，则行列式 $$ $\left|\begin{array}{lll}$ a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b $\end{array}\right|$ $$ 的值等于．（A） 1 （B） 0 （C）-1 （D）-2

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．已知 $A, B$ 均为 4 阶矩阵，$r\left(A A^{\top}\right)=3,|A B|=\left|\begin{array}{cccc}2 & a & 0 & -a \\ -a & 2 & -5 & b \\ b & 0 & b & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 0\end{array}\right|$ ，且 $\left|\begin{array}{ccc}2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2\end{array}\right|=$ 5，则 $\left|\begin{array}{ccc}-a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}+x_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}+x_{n}\end{array}\right|$, 其中 $x_{1} \neq 0, i=1,2, \cdots, n$ ．

2 📝 有解析

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．行列式 $$ $\left|\begin{array}{llll}$ x & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & x $\end{array}\right|$ $$ 展开式中的常数项为．（A） 4 （B） 2 （C） 1 （D） 0

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（解答题） 2．计算 s 阶行列式： $$ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} a_{1}+x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}+x_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}+x_{n} $\end{array}\right|$ $$ $$ $\begin{gathered}$ D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x $\end{array}\right| . \\$ $\text { 4. } D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}$ b & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & b & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b & -1 \\ a_{n} & a_{n-1} & a_{n-3} & \cdots & a_{3} & b+a_{1} $\end{array}\right|={ }^{\cdots} .$ \end{gathered} $$

3 📝 有解析

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 2 & x & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 2 & 1 & x\end{array}\right|$ 的常数项为．（A） 2 （B） 4 （C） 6 （D） 8

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．计算 $n+1$ 阶行列式：

4 📝 有解析

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．不恒为零的函数 $f(x)=\left|\begin{array}{lll}a_{1}+x & b_{1}+x & c_{1}+x \\ a_{2}+x & b_{2}+x & c_{2}+x \\ a_{3}+x & b_{3}+x & c_{3}+x\end{array}\right| \quad$ ）．（A）没有零点（B）至多有 1 个零点（C）恰有 2 个零点（D）恰有 3 个零点

5 📝 有解析

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．若 $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}3 x+1 & x+11 & x-2 \\ x+1 & x+4 & -1 \\ x & 7 & x-1\end{array}\right|$ ，则 $f(x)$ 的拐点为 $\quad \quad$ ，（A）$(1,7)$ （B）$(-1,-1)$ （C）$(0,0)$ （D）$(-2,-2)$

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\Lambda-\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right], \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的 3 维列向量，$P$ 为 3 阶矩阵，且 $P A=\left[-\alpha_{1},-2 \alpha_{2}\right.$ ， $\left.-3 \alpha_{2}\right]$ ，则 $|P-E|-()$ 。（A） 6 （B）-6 （C） 24 （D）-24

6 📝 有解析

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right|, M_{3 j}$ 表示 $D$ 中第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$ ，则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=(\quad)$. （A） 0 （B） 1 （C）-2 （D）-3

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个不同的特征值，其对应的特征向量为 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \boldsymbol{\alpha}= \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}, P=\left[\alpha, A \alpha, A^{2} \alpha\right]$ ．（1）证明 $\boldsymbol{p}$ 可逆；（2）若 $\left(A^{3}-A\right) \alpha=0$ ，求 $|A-3 E|$ 。

7 📝 有解析

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．$\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right|=$

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，若 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=1,|-\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=-1,|2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $|3 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=~() ~ 。$ （A）-2 （B）-8 （C） 8 （D） 11

8 📝 有解析

### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & a\end{array}\right|, A_{i j}$ 表示元素 $a_{i j}(i, j=1,2,3,4)$ 的代数余子式．若 $A_{11}- A_{21}+A_{41}=4$ ，则 $a=$

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$r(\boldsymbol{A})=r$ ，且满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}, f(x)=x^{2}-2 x-3$ ，求 $|f(\boldsymbol{A})-6 \boldsymbol{E}|$ ．

9 📝 有解析

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $x \neq 0$ ，则 $D_{4}=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$

10 📝 有解析

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 3 维线性无关列向量，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}= 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ ## 第2章矩阵

1 📝 有解析

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．已知矩阵方程 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 可以是（）（A）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$ （B）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$ （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$ （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$

2 📝 有解析

### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{13}=$ $\_\_\_\_$ ．

3 📝 有解析

### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{B}^{3}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

4 📝 有解析

### 【基础篇】第4题（填空题） 4．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ ，若 $(\boldsymbol{P A})^{2}=\boldsymbol{P A}, \boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵，则 $\boldsymbol{P}=$ $\_\_\_\_$ .

5 📝 有解析

### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 3 阶矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=-3,|\boldsymbol{B}|=4, \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}2 \boldsymbol{A}^{*} & (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{*} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{C}|=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $A$ 为2阶方阵，$B$ 为 3 阶方阵，$|A|=2,|B|=3, C=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{C}^{*}=()$ 。（A）$\left[\begin{array}{cc}O & -3 A^{*} \\ -2 B^{*} & O\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{A}^{*} \\ 2 \boldsymbol{B}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & -2 \boldsymbol{B}^{*} \\ -3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{*} \\ 3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

7 📝 有解析

### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{\cdot}-\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ，

8 📝 有解析

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且 $A B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则必有（．（A）互换矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1,2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$ （B）互换矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1,2 列得矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ （C）互换矩阵 $A$ 的第 1,2 行得矩阵 $B^{-1}$ （D）互换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1,2 列得矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$

9 📝 有解析

### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列的 -1 倍加到第 1 列得到 $C$ ，记 $P=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $C=$ ．（A）$P^{-1} A P$ （B）$P A P^{-1}$ （C）$P^{\top} A P$ （D） $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$

10 📝 有解析

### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则下列结论正确的是．（A）存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ （B）存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $A Q=B$ （C）若 $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 可经初等行变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$ （D）若 $r(\boldsymbol{A})=3, \boldsymbol{A}$ 可经初等列变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$

11 📝 有解析

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．将 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，将 3 阶方阵 $\boldsymbol{C}$ 的第 3 列的 -3 倍加到第 1 列得到矩阵 $\boldsymbol{D}$ ．若 $\boldsymbol{B D}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A C}=$ ．（A）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 3\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 9 & 0 & 3\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ -6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right]$

12 📝 有解析

### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 是非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 a & 1-a & 2 a \\ a & -a & a^{2}-2\end{array}\right]$ ，则．（A）$a=-1$ ，必有 $r(A)=1$ （B）$a=2$ ，必有 $r(\mathrm{~A})=2$ （C）$a=-1$ ，必有 $r(\boldsymbol{A})=2$ （D）$a=2$ ，必有 $r(\boldsymbol{A})=1$

13 📝 有解析

### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均是 3 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，其中 $$ $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}$ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & a $\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}$ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 $\end{array}\right],$ $$ 结宇宯研数学蹋源探析经典 1000 题（数学－）则必有）． $(\mathrm{A}) a=-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=1$ （B）$a=-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$ （C）$a \neq-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=1$ （D）$a \neq-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$

14 📝 有解析

### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设 2 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的主对角线元素满足 $a_{11}+2=a_{22}$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

15 📝 有解析

### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{5}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

16 📝 有解析

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{3}-3 \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

17 📝 有解析

### 【基础篇】第17题（填空题） 17．设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$。 ## 第2章余子式和代数余子式的计算

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $D_{3}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 34 & 1 & 34\end{array}\right|$ ，则 $5 A_{11}+2 A_{12}+A_{13}=$ $\_\_\_\_$ ．

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（填空题） 2．已知 3 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|=-9$ ，其第 2 行元素为 $[1,1,2]$ ，第 3 行元素为 $[2,2,1]$ ，则 $A_{31}+ A_{32}-3 A_{33}=$ $\_\_\_\_$ ．

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．已知 3 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的元素 $a_{i j}$ 均为实数，且 $a_{i j}$ 不全为 0 ．若 $$ a_{i j}=-A_{i j}(i, j=1,2,3), $$ 其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$ ． ## 第3章向量组

1 📝 有解析

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{array}\right]$ ．对 $\boldsymbol{A}$ 分别以列和行分块，记为 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{\beta}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{3}\end{array}\right]$ ，其中 $\left|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{14} \\ a_{53} & a_{51}\end{array}\right| \neq 0 \cdot\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{13} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{51} & a_{53} & a_{5 S}\end{array}\right|=0$ ，则以下结论中： $$ \operatorname{Dr}(A)=2 ; $$ （3）$\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性相关；所有正确结论的序号是（（A）（1）（3）（C）（1）（4）（2）$\alpha_{2}, \alpha_{1}$ 线性无关；（4）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{s}$ 线性相关．（B）（2）（3）（D）（2）（4）

2 📝 有解析

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{s}$ 线性无关，若向量 $\beta_{1}$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，向量 $\beta_{2}$ 不能由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，则必有（）。（A）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性相关（B）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关（C）向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}$ 线性相关（D）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关

3 📝 有解析

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $x_{1}=[1,2,2,-4]^{\mathrm{T}}, x_{2}=[1, k,-1,-4]^{\mathrm{T}}, x_{3}=[-1,-3,1, k+6]^{\mathrm{T}}$ ，则（）。（A）对任意常数 $k, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性无关（B）当 $k=3$ 时，$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性相关（C）当 $k=-2$ 时，$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性相关（D）$k \neq 3$ 且 $k \neq-2$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性无关的充要条件

4 📝 有解析

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\alpha_{1}=[1,1,0,-2]^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=[1, k,-2,0]^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=[-1,-3,2, k+4]^{\mathrm{T}}$ ，则（）。（A）对任意常数 $k, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关（B）当 $k=3$ 时，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关（C）当 $k=-4$ 时， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关（D）$k \neq 3$ 且 $k \neq-4$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关的充要条件

5 📝 有解析

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关，则 $k \neq 1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}+k \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}+k \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\gamma}$ 线性无关的（）。（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分又非必要条件

6 📝 有解析

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,0,2, a]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[2,1, a, 4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[0, a, 5,-6]^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a=$（）。（A）-1 （B） 3 （C）-3 （D） 5

7 📝 有解析

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关， $\boldsymbol{\beta}=k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 全不为零，则（）．（A）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关 ## 第3章矩阵运算

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列说法错误的是（）。（A）对任意的 $n$ 维列向量 $\xi$ ，有 $A \xi=0$ ，则 $A=0$ （B）对任意的 $n$ 维列向量 $\xi$ ，有 $\xi^{\mathrm{T}} A \xi=0$ ，则 $A=0$ （C）对任意的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ （D）对任意的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^{3}\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均是 3 阶矩阵，且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}^{2}-\boldsymbol{B C}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A^{99}=$ $\_\_\_\_$ ．

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A=$ $\_\_\_\_$。

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵，则下列等式不成立的是（）。（A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ （B）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$ （C）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}$ （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}$

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶方阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 2 维非零列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，$P=[\alpha, A \boldsymbol{\alpha}], A^{2} \alpha+A \boldsymbol{\alpha}- 2 \alpha=0$ ，若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P B}$ ，则 $\boldsymbol{B}=()$ 。（A）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right]$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ．（1）求 $a$ ；（2）求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。

9 📝 有解析

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，$b$ 为常数。记分块矩阵 $$ $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc}$ $\boldsymbol{E} & 0 \\$ -\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{*} & |\boldsymbol{A}| $\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{cc}$ $\boldsymbol{A} & \boldsymbol{\alpha} \\$ $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} & b$ $\end{array}\right],$ $$ 其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 ## 第4章线性方程组

1 📝 有解析

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y+z=1, \\ x+a y+z=1, \\ x+y+a z=-2\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

2 📝 有解析

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设 3 维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，$k, l$ 均为非零常数， $$ $\boldsymbol{\beta}_{1}=k \boldsymbol{\alpha}_{1}+l \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}=k \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}=k \boldsymbol{\alpha}_{3}+l \boldsymbol{\alpha}_{1},$ $$ 记 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right]$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件为．（A）$k-l=0$ （B）$k+l=0$ （C）$k-l \neq 0$ （D）$k+l \neq 0$

3 📝 有解析

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则．（A）当 $m>n$ 时，必有 $|\boldsymbol{A B}|=0$ （B）当 $m>n$ 时， $\boldsymbol{A B}$ 必可逆（C）当 $n>m$ 时， $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有唯一零解（D）当 $n>m$ 时，必有 $r(\boldsymbol{A B})

4 📝 有解析

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>2)$ 阶方阵，$r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解，$k$ 为任意常数，则方程组 $A x=b$ 的通解为）．（A）$(k-1) \boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （B）$(k-1) \boldsymbol{\alpha}_{1}-k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （C）$(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （D）$(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}-k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

5 📝 有解析

### 【基础篇】第5题（解答题） 5．已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \text { 有 } 3 \text { 个线性无关的解．记该方程组的系 } \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$数矩阵为 $A$ ．求：（1）$a, b$ 的值；（2）该方程组的通解；（3）齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解。

6 📝 有解析

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right]$ 经过若干次初等行变换得 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ ．（A）对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性（B）对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性（C）对应的任何 $k$ 阶子式同时为零或同时不为零（D）对应的非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是同解方程组

7 📝 有解析

### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，若非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解，则其线性无关解向量的个数为）．（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

8 📝 有解析

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．已知线性方程组 $A x=k \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 有解，其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -1\end{array}\right]$ ，刜 $k$ 等于（）。（A） 1 （B）-1 （C） 2 （D）-2

9 📝 有解析

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，且齐次线性方程组 $A x=0$ 有通解 $k_{1}[1,2,-2]^{\mathrm{T}}+ k_{2}[2,1,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}$ 是任意常数。（1）证明：对任意的一个 3 维列向量 $\beta$ ，向量 $A \beta$ 和 $\alpha$ 线性相关；（2）若 $\boldsymbol{\beta}=[3,6,-3]^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ ．

10 📝 有解析

### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设3维列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 等价，记 $A=\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right], B=\left[\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right]$ ，则下列结论：（1）$A x=0$ 与 $B x=0$ 同解；（2）$A^{T} x=0$ 与 $B^{T} x=0$ 同解；（3）$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 与 $A x=0$ 同解；（4）$\left[\begin{array}{c}A^{\mathrm{T}} \\ B^{\mathrm{T}}\end{array}\right] x=0$ 与 $A^{\mathrm{T}} x=0$ 同解．所有正确结论的序号是（）。（A）（1）（2）（B）（1）（3）（C）（2）（4）（D）（1）（2）（3）（4）

11 📝 有解析

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，$e=[1,1, \cdots, 1]^{\mathrm{T}}$ 。若方程组 $A y=e$ 有解，则对于（I） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与（II）$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0, \\ \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0,\end{array}\right.$ 说法正确的是（）。（A）（I）的解都是（II）的解，但（II）的解未必是（I）的解（B）（II）的解都是（I）的解，但（I）的解未必是（II）的解（C）（I）的解不是（II）的解，且（II）的解也不是（I）的解（D）（I）的解都是（II）的解，且（II）的解也都是（I）的解

12 📝 有解析

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设齐次线性方程组 $$ $\text { (I) }\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+3 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=0 $\end{array}\right.$ $$ 在线性方程组（I）的基础上增添一个方程 $a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0$ ，得 $$ $\text { (II) }\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+3 x_{3}+5 x_{4}=0, \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=0, \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0 . $\end{array}\right.$ $$ 问 $a, b, c, d$ 满足什么条件时，方程组（I），（II）是同解方程组？并求出此时方程组（II）的通解．

13 📝 有解析

### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设平面 $\pi_{1}: x+a y=a, \pi_{2}: a x+z=1, \pi_{3}: a y+z=1$ ，已知这三个平面没有公共交点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

14 📝 有解析

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $B$ 是 3 阶矩阵，齐次线性方程组 $B x=0$ 的解空间的维数为 $2, A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数为（）．（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ## 第4章矩阵的秩

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{E}$ ，则必有（）。（A）$r(\boldsymbol{A})=1$ （B）$r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=2$ （C）$[r(\boldsymbol{A})-1][r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})-2]=0$ （D）$[r(A)-1][r(A-E)-1]=0$

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实矩阵，则下列结论不成立的是（）。（A）$r\left(\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})$ （B）$r\left(\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A B}^{\mathrm{T}}\right)$ （C）$r\left(\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$ （D）$r\left(\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})$

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（）．（A）$r_{1}=r_{2} \geqslant r_{3}$ （B）$r_{1}=r_{2} \leqslant r_{3}$ （C）$r_{1}=r_{3} \geqslant r_{2}$ （D）$r_{1}=r_{3} \leqslant r_{2}$

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\left[\begin{array}{cc}O & A \\ B C & E\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}A B & C \\ O & E\end{array}\right]$ ， $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（）．（A）$r_{1} \leqslant r_{2} \leqslant r_{3}$ （B）$r_{1} \leqslant r_{3} \leqslant r_{2}$ （C）$r_{3} \leqslant r_{1} \leqslant r_{2}$ （D）$r_{2} \leqslant r_{1} \leqslant r_{3}$

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A B}) \leqslant r(\boldsymbol{B A})$ ，记 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{B C}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{B C} \\ \boldsymbol{A B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B A} & \boldsymbol{B A C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（）。（A）$r_{2} \leqslant r_{3} \leqslant r_{1}$ （B）$r_{2} \leqslant r_{1} \leqslant r_{3}$ （C）$r_{1} \leqslant r_{2} \leqslant r_{3}$ （D）$r_{3} \leqslant r_{2} \leqslant r_{1}$ ## 第5章特征值与特征向量

1 📝 有解析

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1$ ，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, k$ 是任意常数，则（）。（A）$k \xi_{1}$ 仍是 $\boldsymbol{A}$ 对应 $\lambda=1$ 的特征向量（B） $\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应 $\lambda=0$ 的特征向量（C） $\boldsymbol{\xi}_{1}-\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应 $\lambda=2$ 的特征向量（D）$\xi_{1}+\xi_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 对应 $\lambda=1$ 的特征向量

2 📝 有解析

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设 $$ A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 0 \\ 4 & -5 & 0 \\ a & 2 & -1 $\end{array}\right],$ $$ 若 $\boldsymbol{A}$ 的三重特征值 $\lambda$ 对应两个线性无关的特征向量，则 $a=$（）。（A） 1 （B） 2 （C）-1 （D）-2

3 📝 有解析

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的线性无关的特征向量，则矩阵 $P$ 不可以是（）。（A）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1},-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ （B）$\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{2}-2 \alpha_{3}\right]$ （C）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ （D）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

4 📝 有解析

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．$\lambda=-1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值的充分必要条件为（）．（A）$A^{2}=E$ （B）$r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})

5 📝 有解析

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{P}$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda, \xi$ 分别是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和对应的特征向量，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{P}$ 的特征值和对应的特征向量分别是（）。（A）$\displaystyle \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}, \boldsymbol{P}^{-1} \xi$ （B）$\displaystyle \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}, \boldsymbol{\xi}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{\lambda}, P \xi$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\lambda}, \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\xi}$

6 📝 有解析

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 -1 倍加到第 2 行得 $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right]$ ，其中 $a$ 为常数，则 $A$ 的特征值为（）。（A） $1,2, a$ （B） $1,2,-2$ （C） $1,-1,2$ （D） $1, a,-a$

7 📝 有解析

### 【基础篇】第7题（选择题） 7．下列矩阵中，不能相似对角化的是（）。（A）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$

8 📝 有解析

### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知 $\boldsymbol{A}$ 为2阶方阵，可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}]$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} A \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right], Q=[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}]$ ，则 $Q^{-1} \boldsymbol{A}^{*} Q=$ $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 1 与 -1 是矩阵 $$ $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}$ 3 & 1 & -2 \\ -a & -1 & a \\ 4 & 1 & -3 $\end{array}\right]$ $$ 的特征值，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，则 $a=$ ．（A）-1 （B） 0 （C） 1 （D） 2

11 📝 有解析

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -a \\ 2 & a & -2 \\ -a & -1 & 1\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，并讨论 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化．

12 📝 有解析

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，已知 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，且有二重特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ ．求 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值、特征向量，并求 $A^{n}$ 。

13 📝 有解析

### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，满足 $\displaystyle \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$。

14 📝 有解析

### 【基础篇】第14题（解答题） 14．（1）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda=1,2, \cdots, n$ 。证明 $\boldsymbol{A B}$ 和 $\boldsymbol{B A}$ 有相同的特征值且 $\boldsymbol{A B} \sim$ BA ；（2）对一般的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，是否必有 $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$ ，说明理由．

15 📝 有解析

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & a & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & -a & -3\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，问 $a$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 不能相似于对角矩阵；$a$ 为何值时，$A$ 相似于对角矩阵，并求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\Lambda$ ．

16 📝 有解析

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．已知 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有三个特征值 $\displaystyle -1,2, \frac{1}{3}$ ，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ ，取 $P= \left[2 \xi_{2},-\xi_{1}, 3 \xi_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\_\_\_\_$。

17 📝 有解析

### 【基础篇】第17题（选择题） 17．已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=1$ ，则 $\lambda=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其重数（．（A）必为 2 （B）可能为 2 或 3 （C）可能为 1 或 2 （D）可能为 1,2 或 3

18 📝 有解析

### 【基础篇】第18题（填空题） 18．设 $\boldsymbol{A}$ 是 2 阶矩阵，有特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, f(x)=x^{2}-3 x+3$ ，则 $f(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$ ．

19 📝 有解析

### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则以下结论中：（1） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ；（2） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} ;$ （3） $\boldsymbol{A}^{*} \sim \boldsymbol{B}^{*}$ ；（4）$A B \sim B A$ ．正确结论的个数是（．（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

20 📝 有解析

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0}$ ．（1）计算 $A^{2}$ ，并求 $A^{-1}$ ；（2）验证 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，并求 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的特征值。

21 📝 有解析

### 【基础篇】第21题（解答题） 21．设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\lambda_{0}$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ ，且 $|A|=1, A^{\circ}$ 是 $A$的伴随矩阵， $\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}-a & 1 & -2 \\ -1 & b & -\frac{7}{2} \\ 2 & -3 & a\end{array}\right]$ ，求参数 $a, b$ 及 $\lambda_{0}$ ．

22 📝 有解析

### 【基础篇】第22题（解答题） 22．设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $A$ 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}$ ，$\xi_{3}$ ，令 $\beta=\xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 。证明：（1） $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量；（2）向量组 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\beta}$ 线性无关． ## 第5章线性方程组

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 不可逆，且元素 $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0$ ，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}, k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数，则方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为．（A）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ （B）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{4}$ （C）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{3}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{4}$ （D）$k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}+k_{3} \alpha_{4}$

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶正定矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 合同的充分必要条件为）（A）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 只有零解（B）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0$ 有非零解（C）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解（D）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=0$ 有非零解

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+a x_{2}-2 x_{3}=0, \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=1, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+(a+2) x_{3}=3\end{array}\right.$ 的系数矩阵为 $A$ ，自由项为 $b$ ，若 $A x=b$ 无解，$A^{\mathrm{T}} A x= \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解，则 $a=$ ）．（A）-1 （B） 1 （C）-3 （D） 3

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $2 \times 4$ 矩阵， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,2,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[0,-3,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}= \mathbf{0}$ 的基础解系是 $\boldsymbol{\beta}_{1}=[1,3,0,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=[1,2,-1, a]^{\mathrm{T}}$ ．（1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ；（2）如果 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解，求 $a$ 的值及所有非零公共解。

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列说法中，正确的是．（A）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 只有零解（B）$\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ C A B & O\end{array}\right] x=0$ 只有零解（C）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=\mathbf{0}$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A B C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=\mathbf{0}$ 同解（D）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A B} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C A B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] x=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C B} \\ \boldsymbol{A B} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 同解

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（选择题） 6．如图所示有三张平面，其中有两张平面平行，第三张平面与它们相交，其方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+ a_{i 3} z=d_{i}(i=1,2,3)$ 组成的方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 $\boldsymbol{A}$ 和 $\overline{\boldsymbol{A}}$ ，则．（A）$r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=3$ （B）$r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ （C）$r(\boldsymbol{A})=1, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ （D）$r(\boldsymbol{A})=1, r(\overline{\boldsymbol{A}})=1$

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{\alpha}_{i}=\left[a_{i}, b_{i}, c_{i}\right]^{\mathrm{T}}(i=1,2,3)$ 均为非零列向量，且直线 $\displaystyle \frac{x-a_{1}}{a_{2}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}}$ 过点 $\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right)$ ，则可能是三个平面 $\pi_{i}: \boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=1(i=1,2,3)$ 的位置关系的所有序号是（）。（1）（2）（3）（4）（A）（1）（3）（B）（2）（3）（C）（2）（4）（D）（1）（3）（4）

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ a\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}\right]$ ．（1）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 能同时由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？若能表示，写出其表示式；（2）$a, b$ 为何值时，矩阵方程 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有解？若有解，求出其全部解。

9 📝 有解析

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,-2,1,0,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[1,-2,0,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[0,0,1,-1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=[1,-2,3,-2$, $0]^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \tag{*}\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0 $\end{array}\right.$ $$ 的解向量，问 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是否构成方程组（＊）的基础解系，若能，说明理由，若不能，请增或减向量，使之成为基础解系。

10 📝 有解析

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有通解 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=k[1,2,-3]^{\mathrm{T}}+[2,-1,1]^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$是任意常数，又设 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，求方程组 $B \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解。 ## 第6章二次型

1 📝 有解析

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数为 () 。（A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 0

2 📝 有解析

### 【基础篇】第2题（填空题） 2．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}-a x_{3}\right)^{2}+\left(a x_{3}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

3 📝 有解析

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 经正交变换可化为标准形 $f=5 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a=(\quad)$ 。（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

4 📝 有解析

### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left[x_{1}+(a-2) x_{2}-2 x_{3}\right]^{2}+\left(x_{1}+a x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left[x_{1}+a x_{2}+(a-2) x_{3}\right]^{2}$ ．求：（1）方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解；（2）二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形．

5 📝 有解析

### 【基础篇】第5题（解答题） 5．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 对应的矩阵为 $A$ ，且其在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2 y_{3}^{2}$ 。（1）求 $a$ 的值和正交矩阵 $Q$ 。（2）设矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ c & b & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，求 $b, c$ 的值．在此情形下，是否存在正交矩阵 $P$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ？若存在，求 $\boldsymbol{P}$ ；若不存在，请说明理由．

6 📝 有解析

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}(\quad)$ 。（A）不相似且不合同（B）相似但不合同（C）不相似但合同（D）相似且合同

7 📝 有解析

### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶方阵，$i, j=1,2, \cdots, n, i \neq j$ ，互换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再互换 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列得到矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$（）。（A）等价，相似且合同（B）等价，合同但不相似（C）合同，相似但不等价（D）等价，相似但不合同

8 📝 有解析

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．下列矩阵中的正定矩阵是（）。 $(\mathrm{A}) \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right]$ （B） $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]$ （C）$C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]$ （D） $\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & -3 \\ -1 & -3 & 2\end{array}\right]$

9 📝 有解析

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．已勿 $A$ 为 3 朌矩阵，$E$ 为 3 朌单位矩阵，且 $(a E+A)^{2}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right], \operatorname{tr}(A)=2 \sqrt{2}-3 a, a$ 为常数。（1）求驱脌 $A$ ；（2）者 $A$ 正定，求 $a$ 的取值范围．

10 📝 有解析

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right]$ ，向量 $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right]$ ，若齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数为 1 。（1）求常数 $a$ 的值及非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的解；（2）求一个正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $f(x)=x^{\top} A x$ 化为标准形，并写出该标准形．

11 📝 有解析

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似，则常数 $k$ 的取值范围为（）。（A）$k>0$ 且 $k \neq 2$ （B）$k>0$ 且 $k \neq 3$ （C）$k<0$ 且 $k \neq-2$ （D）$k<0$ 且 $k \neq-3$

12 📝 有解析

### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 2 ，其主对角线元素之和为 $5, r(\boldsymbol{A})=2$ ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 满足条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 的最大值为（）。（A）$\displaystyle \frac{1}{5}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C） 2 （D） 3

13 📝 有解析

### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a+2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right]$ ，若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

14 📝 有解析

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $\alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，$P=[\alpha, \beta], Q=[\alpha+\beta, 2 \alpha]$ 。若矩阵 $A$ 使得 $P^{\top} A P=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $Q^{\mathrm{T}} A Q=$ ）．（A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 4 & 2\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right]$

15 📝 有解析

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$ ．

16 📝 有解析

### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+b x_{3}^{0}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 c_{2} x_{3}$ 经正交变喼 $x=Q y$ 可化为标准形 $-y \hat{i}-y \hat{i}+5 y_{j}^{2}$ ，求；（1）常数 $a, b, c$ 的值：（2）所用正交资换。

17 📝 有解析

### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设 3 维列向量 $\alpha-[1,1,1]^{\top}$ ，矩降 $\Lambda-\mathbf{a r}^{\top}$ ，（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与全部特征向量；（2）求方程组 $(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$（ $k$ 为常数）的通解；（3）求一个正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $f=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形．

18 📝 有解析

### 【基础篇】第18题（选择题） 18．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ，则与 $\boldsymbol{A}^{2}$ 既相似又合同的矩阵是．（A）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$

19 📝 有解析

### 【基础篇】第19题（选择题） 19．下列二次型中，是正定二次型的是（）。（A）$f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{1}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}-x_{1}\right)^{2}$ （B）$f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ （C）$f_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ （D）$f_{4}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$

20 📝 有解析

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．（1）设二次型 $f(x, y, z)=y^{2}+2 x z$ ，用正交变换 $x=Q y$ 将其化为标准形，并写出 $Q$ ；（2）求函数 $\displaystyle g(x, y, z)=\frac{y^{2}+2 x z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0\right)$ 的最大值，并求出一个最大值点．

21 📝 有解析

### 【基础篇】第21题（解答题） 21．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 通过正交变换化成 $2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ ，方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}=[1,0$ ， $1]^{\mathrm{T}}$ ，求正交变换及二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。

22 📝 有解析

### 【基础篇】第22题（解答题） 22．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & s \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & \cdots & s^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & s^{n-1}\end{array}\right]$ ，其中 $s, n$ 是正整数，证明 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，并就正整数 $s, n$ 的情况讨论矩阵 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 的正定性．

23 📝 有解析

### 【基础篇】第23题（选择题） 23．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}=0$ 是（）．（A）柱面（B）单叶双曲面（C）双叶双曲面（D）雉面

24 📝 有解析

### 【基础篇】第24题（解答题） 24．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{3}$ ，且二次曲面 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 是柱面．（1）求 $a$ 的值；（2）用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并求所用的正交变换；（3）求此柱面母线的方向向量。 ## 第6章向量组

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 是 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，记向量组（I）为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ，向量组（II）为 $A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{1}$ ，则下列命题正确的是（）。（A）若向量组（I）线性无关，则向量组（II）线性无关（B）若向量组（II）线性无关，则向量组（I）线性无关（C）若向量组（II）线性相关，则向量组（I）线性相关（D）向量组（I）与向量组（II）具有不同的线性相关性

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设3维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[5,3,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[1,3,-1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=[-2,2,-3]^{\mathrm{T}}$ 。且 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，满足 $A \alpha_{1}=\alpha_{2}, A \alpha_{2}=\alpha_{3}, A \alpha_{3}=\alpha_{4}$ ，求 $A \alpha_{4}$ 。

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] ; \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ c \\ 1\end{array}\right]$, 问 $a, b, c$ 为何值时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 等价，且当向量组等价时，求 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的线性表示式及 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 的线性表示式。

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 3 维非零列向量， $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(\boldsymbol{B})=2$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}A x=\beta, \\ \alpha^{\mathrm{T}} x=1\end{array}\right.$ 有解的（）。（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关， $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关。（1）证明：存在 3 维非零列向量 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi}$ 既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示；（2）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,-2,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[2,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{1}=[-2,1,4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=[-5,-3,5]^{\mathrm{T}}$ ，求既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示的所有非零列向量 $\boldsymbol{\xi}$ ．

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设向量空间 $V$ 满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,-\infty

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（填空题） 7．向量空间 $V=\left\{(x, y, z) \mid(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3}, x-2 z=0\right\}$ 的一个基为 $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 是 3 维向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基，则基 $\boldsymbol{\beta}_{1}, 2 \boldsymbol{\beta}_{2}, 3 \boldsymbol{\beta}_{3}$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_{1}-\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}+\boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}-\boldsymbol{\beta}_{1}$ 的过渡矩阵为（第6算向量组（A）$\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -6 \\ -8 & 4 & 0\end{array}\right]$ （B）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]$ （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right]$ （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{4}\end{array}\right]$

9 📝 有解析

### 【强化篇】第9题（填空题） 9．由向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,0,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[1,2,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[2,2,4]^{\mathrm{T}}$ 生成的向量空间 $V=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right\}= \left\{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbf{R}\right\}$ ，则 $V$ 的一个规范正交基为 $\_\_\_\_$ ． ## 第7章特征值与特征向量

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为 3 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ．若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\right. \left.\alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right]$ ，则 $Q^{-1} A Q=(\quad)$ 。（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ a & 4 & b \\ -3 & -6 & 8\end{array}\right]$ 有三个线性无关的特征向量，$\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，则（）．（A）$a=1, b=-2$ （B）$a=-1, b=2$ （C）$a=2, b=-1$ （D）$a=-2, b=1$ 3。设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，有特征值 $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1$ ，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，以下 $k$ ， $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}_{2}+\boldsymbol{\xi}_{3}$ 的通解是

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有通解 $k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}$（ $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数）， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{3}$ ，则存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}$ 是（）。（A）$\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{3}\right]$ （B）$\left[\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}, \boldsymbol{\xi}_{1}\right]$ （C）$\left[\xi_{1}+\xi_{2},-\xi_{2}, 2 \xi_{3}\right]$ （D）$\left[\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{2}-\boldsymbol{\xi}_{3}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right]$

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的某一行元素全是 1 ，且 $\boldsymbol{A}$ 有 3 个特征向量 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right], \boldsymbol{\xi}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\xi}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]$ ，则 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)=$ $\_\_\_\_$。

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值一 1 与 1 的特征向量，且 $$ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0} . $$ （1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆；（2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{P}$ ．

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关，其中 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维非零列向量，且 $\boldsymbol{A}^{3} \boldsymbol{\alpha}=3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-2 \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$。

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，$|\boldsymbol{B}| \neq 0, \boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维非零列向量，则＂ $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的特征向量＂是＂ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 的特征向量＂的）．（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分又非必要条件

9 📝 有解析

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\left[\begin{array}{l}x_{n} \\ y_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{array}\right]$ 。（1）当 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=1 \\ y_{0}=2\end{array}\right.$ 时，求 $x_{100}, y_{100}$ ；（2）当 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=1, \\ y_{0}=1\end{array}\right.$ 时，求 $x_{100}$ ． ## 第8章相似理论

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．以下两个矩阵，可用同一可逆矩阵 $P$ 相似对角化的是（）。（A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．下列矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的是． $(\mathrm{A}) \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （B） $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]$ （C）$C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right]$ （D） $\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 有特征向量 $$ $\xi_{1}=\left[\begin{array}{l}$ 1 \\ 2 \\ 1 $\end{array}\right], \xi_{2}=\left[\begin{array}{c}$ -1 \\ 1 \\ 1 $\end{array}\right], \xi_{3}=\left[\begin{array}{c}$ -1 \\ 2 \\ 2 $\end{array}\right]$ $$ （1）求 $A$ 的对应于 $\xi_{i}(i=1,2,3)$ 的特征值；（2）求 $A x=0$ 的通解；（3）求 $A$ 。

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵，$P=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为 3 维列向量组且线性无关，若 $A\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}\right.$ ， $\left.\alpha_{2}, \alpha_{3}\right]=\left[3 \alpha_{3}, 2 \alpha_{2}, \alpha_{1}\right]$. （1）证明 $\boldsymbol{A}$ 可相似于对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ；（2）若 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right]$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，并写出 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $\boldsymbol{\alpha}=[1,2,3,4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=[3,-2,-1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ．（1）求 $A$ 的全部特征值和特征向量；（2）问 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵，说明理由。

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ ，矩阵 $B$ 满足 $A B=A-B$ ，求可逆矩阵 $P$ 、使 $P^{-1}(A B) P$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．已知 3 维列向量 $\xi$ 不是 $A^{2} x=0$ 的解，$A \xi$ 是 $A^{2} x=0$ 的解。记 $P \quad\left[\xi, A \xi, A^{2} \xi\right]$ 。（1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆；（2）A 能否相似对角化？若能，求出一个与之相似的对角矩阵，若不能，请说明理由。

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & 2 & -3\end{array}\right]$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，其中 $|\boldsymbol{A}|>0$ ．（1）求 $a$ 的值；（2）求 $A^{99}$ ．

9 📝 有解析

### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是（）。（A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似（B）$A^{2}+A^{-1}$ 与 $B^{2}+B^{-1}$ 相似（C） $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似（D） $\boldsymbol{A}^{*}-\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{*}-\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似

10 📝 有解析

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & t\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2\end{array}\right]$ ．（1）$t$ 为何值时，矩阵 $A, B$ 等价？说明理由；（2）$t$ 为何值时，矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 相似？说明理由。

11 📝 有解析

### 【强化篇】第11题（选择题） 11．设 4 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{4}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{A})=(\quad)$ 。（A） 0 （B） 0 或 1 （C） 1 或 2 （D） 2 或 3

12 📝 有解析

### 【强化篇】第12题（选择题） 12．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵＂是＂ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量＂的（）。（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件

13 📝 有解析

### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ ，且 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的单位特征向量，则与矩阵 $A+\alpha_{1} \alpha_{1}^{\mathrm{T}}$ 相似的对角矩阵为（）。（A）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}+1 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+1\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}+1 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]$

14 📝 有解析

### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶不可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 3 维线性无关列向量，满足 $A \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$ 、且 $\boldsymbol{A} \sim \Lambda$ ，则 $\Lambda=$

15 📝 有解析

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $A, B, C$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $$ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{C}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-2 \boldsymbol{E}\right)=\boldsymbol{O}, r(C)+r(\boldsymbol{B})=n . $$ 证明 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda}$ ，并求 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．

16 📝 有解析

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $A=\left[\begin{array}{lll}-4 & 2 & 10 \\ -4 & 3 & a \\ -3 & 1 & 7\end{array}\right]$ ，且 $A$ 的所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量、 $B=$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$. （1）求 $a$ 的值；（2）是否存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ？若存在，求出矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，若不存在，说明理由．

17 📝 有解析

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & a \\ 2 & a & 2 \\ a & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ -4\end{array}\right]$ ，线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解．（1）求常数 $a$ 的值及方程组 $A x=\beta$ 的通解；（2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。

18 📝 有解析

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{x}=k_{1}[-2,1,0]^{\mathrm{T}}+ k_{2}[-3,0,1]^{\mathrm{T}}, k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，求 $A^{n}$ ．

19 📝 有解析

### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 2 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个实特征向量，$\|\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\|=\|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}\|$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必为．（A）正定矩阵（B）实对称矩阵（C）正交矩阵（D）单位矩阵

20 📝 有解析

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，已知 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和及主对角线元素之和均为 2 ，且 $\boldsymbol{\alpha}= [2,1,0]^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{\beta}=[0,1,2]^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ 的两个解，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

21 📝 有解析

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．在某一核反应堆中有 $\alpha$ 与 $\beta$ 两种粒子，若每秒钟 1 个 $\alpha$ 粒子分裂成 3 个 $\beta$ 粒子，且 1 个 $\beta$ 粒子分裂成 2 个 $\beta$ 粒子与 1 个 $\alpha$ 粒子．设在 $t=0$ 时刻，该反应堆中只有 1 个 $\alpha$ 粒子，记 $a_{n}, b_{n}$ 分别表示 $t= n$ 秒时 $\alpha$ 粒子、 $\beta$ 粒子的个数。（1）证明 $\left[\begin{array}{c}a_{n} \\ a_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{n-1}\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$ ；（2）求 $t=n$ 秒时反应堆中的粒子总数 $a_{n}+b_{n}$ ．

22 📝 有解析

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ ．（1）求矩阵 $\boldsymbol{C}$ ；（2）计算 $\boldsymbol{A}^{10}$ ． ## 第9章二次型

1 📝 有解析

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=4 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}(a>2)$ 的规范形为 () 。（A）$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ （B）$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ （C）$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ （D）$-y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

2 📝 有解析

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $A$ 为 3 阶实对称方阵，$r(E-A)=1$ ，且 $A^{2}+2 A=3 E$ ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\top} A x$ 的规范形为（）。（A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ （B）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （C）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （D）$-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

3 📝 有解析

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-3 x_{2} x_{3}$ 的规范形为（）。（A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （B）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （C）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ （D）$-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

4 📝 有解析

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+a x_{3}\right)\left(x_{1}+5 x_{2}+b x_{3}\right)$ 的正惯性指数 $p(\quad)$ 。（A）与 $a$ 有关，与 $b$ 无关（B）与 $a$ 无关，与 $b$ 有关（C）与 $a, b$ 均有关（D）与 $a, b$ 均无关

5 📝 有解析

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant 3}|i-j| x_{i} x_{j}$ 的规范形为 $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 为一组不全为零的实数，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{i} a_{j} x_{i} x$, 的规范形为 $\_\_\_\_$ ．

7 📝 有解析

### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在 $\boldsymbol{x}=x_{0}= [1,1,1]^{\mathrm{T}}$ 处的值 $f(1,1,1)=x_{0}^{\mathrm{T}} A x_{0}=$ $\_\_\_\_$。

8 📝 有解析

### 【强化篇】第8题（填空题） 8．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 【强化篇】第9题（填空题） 9．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1+a) x_{1} x_{2}$ 的秩为 2 ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2} x_{3}$ 经正交变换 $x=Q y$ 化为二次型 $$ g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1} y_{2}+a y_{3}^{2} . $$ （1）求 $a$ 的值；（2）求正交矩阵 $Q$ 。

11 📝 有解析

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 6 \\ 4 & 4 & 4 \\ 0 & 8 & 9\end{array}\right] x$ ，其中 $x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{0} \\ x_{8}\end{array}\right]$ ．（1）用正交变换 $x=Q y$ 将其化为标准形，并求出 $Q$ ；（2）求 $\displaystyle g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$ 的最大值，并求出一个最大值点、其中 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \neq 0$ 。

12 📝 有解析

### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}, g\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 的二次型矩阵为 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ ．（1）是否存在可逆矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，使 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}$ ？若存在，求出矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，若不存在，说明理由．（2）求 $\displaystyle \max _{x \neq 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ ，其中 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]$ 。

13 📝 有解析

### 【强化篇】第13题（解答题） 13．若可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 可将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 化为规范形 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，同时将二次型 $g\left(x_{1}, x_{2}\right)=-x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 化为标准形 $k_{1} y_{1}^{2}+k_{2} y_{2}^{2}$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及 $k_{1}$ ，$k_{2}$ 的值。

14 📝 有解析

### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\ a & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & b\end{array}\right]$ ，其中 $b$ 为正整数．（1）若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，求出 $a, b$ 的值与矩阵 $\boldsymbol{P}$ ；（2）对于（1）中的 $a, b$ ，是否存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} A Q=B$ ？若存在，求出 $Q$ ．若不存在，说明理由．

15 📝 有解析

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right]$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$ 合同，求 $a$ ，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ．

16 📝 有解析

### 【强化篇】第16题（选择题） 16．已知 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 经正交变换 $x=Q y$ 化为 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+a y_{3}^{2}(a \neq 0)$ ，且 $\displaystyle \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{a}\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则对任意 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ ，有（）。（A）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)>0$ （B）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \geqslant 0$ （C）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)<0$ ．（D）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \leqslant 0$

17 📝 有解析

### 【强化篇】第17题（选择题） 17．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{2}+\sum_{1 \leqslant i0$ （B） $0

18 📝 有解析

### 【强化篇】第18题（选择题） 18．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left[-x_{1}+(a-4) x_{2}+2 x_{3}\right]^{2}+\left(2 x_{1}+x_{2}+a x_{3}\right)^{2}$正定，则参数 $a$ 的取值范围是（）。（A）$a=2$ （B）$a=-7$ （C）$a>0$ （D）$a$ 为任意实数

19 📝 有解析

### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为 3 维列向量，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\right) x$ 。（1）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关，证明 $f$ 为正定二次型；（2）若 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right], \boldsymbol{\gamma}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ a\end{array}\right]$ ，求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解，并求二次型的规范形．

20 📝 有解析

### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，则以下不是＂ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 正定＂的充要条件的是（）。（A）$A$ 为初等矩阵的乘积（B） $\boldsymbol{A}$ 为 $\mathbf{R}^{n}$ 的某两个基之间的过渡矩阵（C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关（D） $\boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相似

21 📝 有解析

### 【强化篇】第21题（选择题） 21．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{2}-3 x_{3} x_{1}=1$ 表示 $(\quad)$ 。（A）椭球面（B）双曲柱面（C）双叶双两面（D）单叶双曲面

22 📝 有解析

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right]\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]$ ，且 $\sum_{i=1}^{3} a_{0}=2, A B=O$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．（1）用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（2）求该二次型；（3）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 表示什么曲面？

23 📝 有解析

### 【强化篇】第23题（解答题） 23．已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\eta}$ 为 3 维列向量．（1）求 $\boldsymbol{\eta}$ ；（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ；（3）令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}+\boldsymbol{\eta}$ ，其中 $\boldsymbol{x}=[x, y, z]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{y}=\left[x_{1}, y_{1}, z_{1}\right]^{\mathrm{T}}$ ，化简二次曲面方程 $2 x^{2}+y^{2}-4 x y- 4 y z-4 x-5=0$ ，并说明它表示什么曲面．

24 📝 有解析

### 【强化篇】第24题（填空题） 24．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $p=$ 2．$q=0$ ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 在点 $(0,1,1)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。