kaoyan1basic 线性代数 第13题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均是 3 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，其中

$$ $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}$ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & a $\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}$ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 $\end{array}\right],$ $$

结宇宯研数学蹋源探析经典 1000 题（数学－） 则必有 ）． $(\mathrm{A}) a=-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=1$ （B）$a=-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$ （C）$a \neq-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=1$ （D）$a \neq-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：步骤1：由$AB=C$，$C$非零，$r(C)=1$（仅第二行非零且成比例）。步骤2：$r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$，故$r(A)\geq1$，$r(B)\geq1$。步骤3：计算$|B|=\left|\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&1&1\\-2&-1&a\end{array}\right|=(a+1)(-3)$，当$a=-1$时$|B|=0$，$r(B)=2$，则$r(A)\geq1$，但由$C$的秩为1，$r(A)$可能为1或2。步骤4：当$a\neq-1$时，$|B|\neq0$，$B$可逆，则$A=CB^{-1}$，$r(A)=r(C)=1$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析矩阵C的秩
观察矩阵C，其第二行为(2,1,1)，其余行全为零，且第二行非零，因此r(C)=1。
提示：注意C中只有一行非零，且该行元素不成比例于其他行，故秩为1。
步骤 2/5
目标：利用秩不等式
由AB=C，有r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}，且r(C)=1，故r(A)≥1，r(B)≥1。
公式：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}
提示：秩不等式是常用工具，注意等号不一定成立。
步骤 3/5
目标：计算矩阵B的行列式
计算|B| = det([1,2,2;2,1,1;-2,-1,a]) = (a+1)*(-3)。
公式：|B| = (a+1)(-3)
提示：行列式计算可用行变换或直接展开，注意符号。
步骤 4/5
目标：讨论a=-1的情况
当a=-1时，|B|=0，r(B)≤2。进一步计算B的秩：B的前两行线性无关（因为不成比例），且第三行可由前两行线性表示？实际上，当a=-1时，第三行等于第一行减第二行？检查：第一行(1,2,2)减第二行(2,1,1)得(-1,1,1)，而第三行是(-2,-1,-1)，不成比例，故r(B)=2。此时r(A)≥1，但由C的秩为1，r(A)可能为1或2，无法确定。
提示：a=-1时B不可逆，但秩为2，不能直接得到A的秩。
步骤 5/5
目标：讨论a≠-1的情况
当a≠-1时，|B|≠0，B可逆。由AB=C，两边右乘B^{-1}得A=CB^{-1}。由于C的秩为1，且B^{-1}可逆，故r(A)=r(C)=1。
公式：A=CB^{-1}，r(A)=r(C)（当B可逆时）
提示：可逆矩阵不改变秩，这是关键。

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