kaoyan1basic 线性代数 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 是非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 a & 1-a & 2 a \\ a & -a & a^{2}-2\end{array}\right]$ ，则 ． （A）$a=-1$ ，必有 $r(A)=1$ （B）$a=2$ ，必有 $r(\mathrm{~A})=2$ （C）$a=-1$ ，必有 $r(\boldsymbol{A})=2$ （D）$a=2$ ，必有 $r(\boldsymbol{A})=1$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$AB=O$且$A\neq O$，得$r(A)+r(B)\leq3$，且$r(A)\geq1$。步骤2：计算$B$的行列式$|B|=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\2a&1-a&2a\\a&-a&a^2-2\end{array}\right|$，化简得$|B|=(a+1)(a-2)$。步骤3：若$a=-1$，$|B|=0$，$r(B)=2$（因非零2阶子式），则$r(A)\leq1$，又$A\neq O$，故$r(A)=1$。步骤4：若$a=2$，$|B|=0$，$r(B)=1$（因各行成比例），则$r(A)\leq2$，但$r(A)$可能为1或2，不确定。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用矩阵秩的性质
由AB=O且A≠O，得r(A)+r(B)≤3，且r(A)≥1。
公式：r(A)+r(B)≤n
提示：注意A非零矩阵，秩至少为1。
步骤 2/4
目标：计算B的行列式
计算|B| = |1 -1 1; 2a 1-a 2a; a -a a^2-2|，化简得|B|=(a+1)(a-2)。
公式：|B|=(a+1)(a-2)
提示：利用行列式性质化简。
步骤 3/4
目标：分析a=-1的情况
当a=-1时，|B|=0，r(B)=2（存在非零2阶子式），则r(A)≤1，又A≠O，故r(A)=1。
提示：验证B的2阶子式非零。
步骤 4/4
目标：分析a=2的情况
当a=2时，|B|=0，r(B)=1（各行成比例），则r(A)≤2，但r(A)可能为1或2，不确定。
提示：注意秩不等式只能给出上界。
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