kaoyan1basic 线性代数 第11题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．将 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，将 3 阶方阵 $\boldsymbol{C}$ 的第 3 列的 -3 倍加到第 1 列得到矩阵 $\boldsymbol{D}$ ．若 $\boldsymbol{B D}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A C}=$ ． （A）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 3\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 9 & 0 & 3\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ -6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right]$

💡 答案解析

**答案**：B **解析**：步骤1：$B$由$A$经行变换得到，$B=E_{12}(2)A$，其中$E_{12}(2)=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$。步骤2：$D$由$C$经列变换得到，$D=CF$，其中$F=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$。步骤3：$BD=E_{12}(2)A C F=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right]$，则$AC=E_{12}(2)^{-1}\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right]F^{-1}$。步骤4：$E_{12}(2)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$，$F^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$，计算得$AC=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\-2&2&-6\\0&0&3\end{array}\right]$，但选项B为$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&2&0\\9&0&3\end{array}\right]$，需重新计算。实际$AC=E_{12}(2)^{-1} \text{diag}(1,2,3) F^{-1}$，乘积为$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&2&0\\0&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\-2&2&-6\\0&0&3\end{array}\right]$，与选项不符。注意$F$作用为第3列-3倍加到第1列，$F=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-3&0&1\end{array}\right]$，则$F^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{array}\right]$。重新计算：$AC=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&2&0\\0&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&2&0\\9&0&3\end{array}\right]$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：用初等矩阵表示矩阵变换
将A的第1行的2倍加到第2行得到B，对应的初等矩阵为E₁₂(2)，即B = E₁₂(2)A，其中E₁₂(2) = [[1,0,0],[2,1,0],[0,0,1]]。将C的第3列的-3倍加到第1列得到D，对应的初等矩阵为F，即D = CF，其中F = [[1,0,0],[0,1,0],[-3,0,1]]。
公式：B = E₁₂(2)A, D = CF
提示：注意左乘为行变换，右乘为列变换。
步骤 2/4
目标：建立已知条件与目标的关系
已知BD = diag(1,2,3)，代入B和D得E₁₂(2)A·C·F = diag(1,2,3)。因此AC = E₁₂(2)⁻¹·diag(1,2,3)·F⁻¹。
公式：AC = E₁₂(2)⁻¹·diag(1,2,3)·F⁻¹
提示：逆矩阵顺序要颠倒。
步骤 3/4
目标：求逆矩阵
E₁₂(2)的逆矩阵为E₁₂(-2)，即[[1,0,0],[-2,1,0],[0,0,1]]。F的逆矩阵为将第3列的3倍加到第1列，即[[1,0,0],[0,1,0],[3,0,1]]。
公式：E₁₂(2)⁻¹ = [[1,0,0],[-2,1,0],[0,0,1]], F⁻¹ = [[1,0,0],[0,1,0],[3,0,1]]
提示：初等矩阵的逆对应相反倍数。
步骤 4/4
目标：计算AC
先计算E₁₂(2)⁻¹·diag(1,2,3) = [[1,0,0],[-2,2,0],[0,0,3]]，再右乘F⁻¹得[[1,0,0],[-2,2,0],[9,0,3]]。
公式：AC = [[1,0,0],[-2,2,0],[9,0,3]]
提示：矩阵乘法顺序不可交换。

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