kaoyan1basic 线性代数 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则下列结论正确的是 ． （A）存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ （B）存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $A Q=B$ （C）若 $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 可经初等行变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$ （D）若 $r(\boldsymbol{A})=3, \boldsymbol{A}$ 可经初等列变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：矩阵等价指存在可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ=B$。步骤2：若$r(A)=3$，则$A$可逆，可经初等行变换化为单位阵，再经初等列变换化为任意同阶可逆矩阵$B$，但仅用初等列变换不一定能化为$B$，需行和列变换结合。步骤3：选项D中，若$r(A)=3$，$A$可逆，可经初等列变换化为$B$，因为列变换相当于右乘可逆矩阵，而可逆矩阵可表示为初等矩阵乘积，故存在可逆矩阵$Q$使$AQ=B$。但等价定义要求$PAQ=B$，仅列变换不够，需$P=E$，故D正确。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解矩阵等价的定义
矩阵等价是指存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。
公式：PAQ=B
提示：注意等价定义中同时涉及行变换和列变换。
步骤 2/4
目标：分析选项A和B
选项A只涉及左乘可逆矩阵（行变换），选项B只涉及右乘可逆矩阵（列变换），均不满足等价定义，故错误。
提示：等价需要同时进行行和列变换。
步骤 3/4
目标：分析选项C
若r(A)=2，则A不可逆，仅通过初等行变换不一定能化为任意矩阵B，因为行变换不改变列秩关系，故C错误。
提示：行变换保持行空间，但列空间可能改变。
步骤 4/4
目标：分析选项D
若r(A)=3，则A可逆。可逆矩阵可经初等列变换化为任意同阶可逆矩阵B，因为列变换相当于右乘可逆矩阵，而可逆矩阵可表示为初等矩阵乘积，故存在可逆矩阵Q使AQ=B。此时取P=E，满足PAQ=B，故D正确。
公式：AQ=B
提示：可逆矩阵的列变换可化为任何可逆矩阵。
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