kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列的 -1 倍加到第 1 列得到 $C$ ，记 $P=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $C=$ ． （A）$P^{-1} A P$ （B）$P A P^{-1}$ （C）$P^{\top} A P$ （D） $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：将$A$的第1行加到第2行，相当于左乘初等矩阵$P$，即$B=PA$。步骤2：将$B$的第2列的-1倍加到第1列，相当于右乘初等矩阵$Q$，其中$Q=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$，即$C=BQ=PAQ$。步骤3：$Q=P^{-1}$，因为$P$的逆为将第1行的-1倍加到第2行，对应矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$。故$C=PAP^{-1}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定初等行变换对应的左乘矩阵
将A的第1行加到第2行，相当于左乘初等矩阵P，即B=PA。
公式：B = PA
提示：左乘初等矩阵对应行变换，右乘对应列变换。
步骤 2/4
目标：确定初等列变换对应的右乘矩阵
将B的第2列的-1倍加到第1列，相当于右乘初等矩阵Q，其中Q = [[1,-1,0],[0,1,0],[0,0,1]]，即C = BQ = PAQ。
公式：C = PAQ
提示：列变换右乘，注意变换矩阵的构造。
步骤 3/4
目标：化简Q为P的逆矩阵
P的逆矩阵是将第1行的-1倍加到第2行，对应矩阵[[1,-1,0],[0,1,0],[0,0,1]]，即Q = P^{-1}。
公式：Q = P^{-1}
提示：初等矩阵的逆仍是同类型的初等矩阵。
步骤 4/4
目标：得出最终表达式
代入Q = P^{-1}，得C = P A P^{-1}。
公式：C = P A P^{-1}
提示：注意矩阵乘法顺序不可交换。
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