kaoyan1basic 线性代数 第14题

**答案**：$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$或$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$ **解析**：步骤1：设$A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$为正交矩阵，则$a^2+c^2=1$，$b^2+d^2=1$，$ab+cd=0$，且$a_{11}+2=a_{22}$即$a+2=d$。步骤2：代入得$a^2+c^2=1$，$b^2+(a+2)^2=1$，$ab+c(a+2)=0$。步骤3：由$b^2+(a+2)^2=1$及$a^2\leq1$，得$a+2=\pm1$，即$a=-1$或$a=-3$（舍），故$a=-1$，则$d=1$。步骤4：代入得$c=0$，$b=0$，但$ab+cd=0$成立，但$b^2+1^2=1$得$b=0$，$a^2+0^2=1$得$a=\pm1$，矛盾。重新解：由$a+2=d$，正交矩阵行列式$\pm1$，设$A=\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]$或$\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{array}\right]$。代入$a+2=d$，第一类得$\cos\theta+2=\cos\theta$无解；第二类得$\cos\theta+2=-\cos\theta$，即$2\cos\theta=-2$，$\cos\theta=-1$，$\sin\theta=0$，得$A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]$，但此时$a_{11}+2=1\neq a_{22}=1$？实际$-1+2=1$，成立。但需满足正交，$A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]$，但行列式为-1。另一解：考虑旋转矩阵，$\cos\theta+2=\cos\theta$无解。故唯一解为$A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]$。但题目要求2阶正交矩阵，主对角线元素满足条件，答案应为$\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]$。但常见形式为$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\\\mp\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$，验证$\displaystyle \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\neq\frac{1}{2}$，不成立。故正确答案为$\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]$。 **难度**：★★★☆☆