kaoyan1basic 线性代数 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{5}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\sum_{i=0}^{4}C_5^{i+1}(-1)^i A^i$或$5E-10A+10A^2-5A^3+A^4$ **解析**：步骤1：由$(A-E)^5=O$，得$A-E$为幂零矩阵，特征值全为0，故$A$的特征值全为1。步骤2：利用二项式展开，$(A-E)^5=A^5-5A^4+10A^3-10A^2+5A-E=O$，即$A^5-5A^4+10A^3-10A^2+5A=E$。步骤3：左乘$A^{-1}$得$A^4-5A^3+10A^2-10A+5E=A^{-1}$，故$A^{-1}=A^4-5A^3+10A^2-10A+5E$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析条件，得出A的特征值全为1
由(A-E)^5=O知A-E是幂零矩阵，其特征值全为0，因此A的特征值全为1。
提示：幂零矩阵的特征值全为0。
步骤 2/3
目标：利用二项式展开条件式
将(A-E)^5展开：A^5 - 5A^4 + 10A^3 - 10A^2 + 5A - E = O，移项得A^5 - 5A^4 + 10A^3 - 10A^2 + 5A = E。
公式：(A-E)^5 = ∑_{i=0}^5 C_5^i A^{5-i}(-E)^i = A^5 - 5A^4 + 10A^3 - 10A^2 + 5A - E
提示：注意二项式展开的符号。
步骤 3/3
目标：左乘A^{-1}得到A^{-1}的表达式
在等式A^5 - 5A^4 + 10A^3 - 10A^2 + 5A = E两边左乘A^{-1}，得A^4 - 5A^3 + 10A^2 - 10A + 5E = A^{-1}。
公式：A^{-1} = A^4 - 5A^3 + 10A^2 - 10A + 5E
提示：左乘A^{-1}时注意每一项的次数。
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