kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $a, b, c$ 是方程 $x^{3}-2 x+4=0$ 的三个根，则行列式
$$ $\left|\begin{array}{lll}$ a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b $\end{array}\right|$ $$
的值等于 ． （A） 1 （B） 0 （C）-1 （D）-2
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由韦达定理，$a+b+c=0$，$ab+ac+bc=-2$，$abc=-4$。行列式$=(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc=0\cdot(-2)-3(-4)=12$，但选项无12。重新计算：行列式$=3abc-a^3-b^3-c^3$，由$a^3=2a-4$等，得$=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用韦达定理得到根的和、积等关系
设方程 $x^3 - 2x + 4 = 0$ 的三个根为 $a, b, c$，由韦达定理：$a+b+c = 0$，$ab+ac+bc = -2$，$abc = -4$。
公式：对于三次方程 $x^3 + px + q = 0$，有 $a+b+c=0$，$ab+ac+bc = p$，$abc = -q$。
提示：注意方程缺二次项，故 $a+b+c=0$。
步骤 2/2
目标：计算行列式并化简
计算行列式 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$。利用行列式性质，将第2、3行加到第1行，得 $\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$。由于 $a+b+c=0$，行列式为0。
公式：行列式行和相等时可提取公因子。
提示：观察行列式每行元素之和均为 $a+b+c$，利用此性质简化。
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