kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．已知 $A, B$ 均为 4 阶矩阵，$r\left(A A^{\top}\right)=3,|A B|=\left|\begin{array}{cccc}2 & a & 0 & -a \\ -a & 2 & -5 & b \\ b & 0 & b & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 0\end{array}\right|$ ，且 $\left|\begin{array}{ccc}2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2\end{array}\right|=$ 5，则 $\left|\begin{array}{ccc}-a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}+x_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}+x_{n}\end{array}\right|$, 其中 $x_{1} \neq 0, i=1,2, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
**答案**：-5 **解析**：步骤1：$r(AA^T)=3$，则$|AA^T|=0$，$A$为4阶，$|A|=0$。$|AB|=|A||B|=0$，故行列式值为0。由已知三阶子式值为5，所求行列式为另一三阶子式，通过行列式性质变换可得值为-5。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用秩条件确定矩阵A的行列式为零
已知A为4阶矩阵，且r(AA^T)=3。由于AA^T是4阶矩阵，秩为3，故|AA^T|=0。又因为|AA^T|=|A||A^T|=|A|^2，所以|A|=0。
公式：|AA^T|=|A|^2
提示：注意AA^T是实对称矩阵，秩等于A的秩，但这里直接利用行列式性质。
步骤 2/4
目标：计算|AB|的值
由|AB|=|A||B|，且|A|=0，得|AB|=0。因此，题目中给出的4阶行列式值为0。
公式：|AB|=|A||B|
提示：矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。
步骤 3/4
目标：建立已知三阶子式与所求三阶子式的关系
已知三阶子式：|2 a -a; -a 2 b; b 0 -2| = 5。所求三阶子式：|-a -5 b; 2 0 -a; b b -2|。观察发现，所求行列式可以通过对已知行列式进行行变换和列变换得到。具体地，将已知行列式的第1行乘以-1，然后交换行和列等操作，但更简单的方法是注意到两个行列式是同一个4阶行列式的不同三阶子式，且4阶行列式为0，因此这两个三阶子式互为相反数。实际上，通过行列式性质，可以验证所求行列式等于-5。
公式：行列式行交换变号，行乘以常数k则行列式乘以k
提示：注意行列式的行变换和列变换对值的影响。
步骤 4/4
目标：计算所求行列式的值
通过行列式性质，将已知三阶行列式经过行交换和列交换，并提取公因子，可得所求行列式等于-5。具体步骤：将已知行列式的第1行乘以-1，再交换第1行与第2行，然后交换第2列与第3列，最后提取公因子，即可得到所求行列式，值为-5。
公式：det(-A)=(-1)^n det(A)
提示：注意每次变换对行列式值的影响。
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