kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 第4题 设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：设$\eta_1,\eta_2$是$Ax=b$的解，则$A\eta_1=b$，$A\eta_2=b$。 步骤2：选项A：$A(\eta_1+\eta_2)=2b\neq0$，故不是齐次解，错误。选项B：$\displaystyle A(\frac{1}{2}\eta_1+\frac{1}{2}\eta_2)=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}b=b$，正确。选项C：$A(\eta_1-\eta_2)=b-b=0$，正确。选项D：$A(2\eta_1-\eta_2)=2b-b=b$，正确。故错误的是A。 **难度**：★☆☆☆☆