kaoyan1basic 线性代数 第649题
📝 题目
### 第649题 设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1, \boldsymbol{n}$ 为 $L$ 的外法线向量，$\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{12}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} s$ 等于 （A） 0 ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （C）$\pi$ ． （D）$-\pi$ ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}=\nabla u\cdot\boldsymbol{n}$，其中$\boldsymbol{n}$为外法线。由高斯公式（散度定理）在曲线上的形式，$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} ds = \iint_D \nabla^2 u dxdy$，其中$D$为单位圆盘。 步骤2：$\displaystyle u=\frac{1}{12}(x^4+y^4)$，$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=x^2$，$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=y^2$，$\nabla^2 u=x^2+y^2$。积分$\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2\cdot r dr=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$。故原积分$\displaystyle =\frac{\pi}{2}$？但选项有0，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，$\pi$，$-\pi$。计算得$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，对应B。但常见答案C，可能符号问题：外法线方向，散度定理直接得$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}ds=\iint_D \nabla^2 u dxdy$，正确。故答案为B。但题目选项B为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，C为$\pi$，此处按计算选B。 **难度**：★★☆☆☆