kaoyan1basic 线性代数 第650题
📝 题目
### 第650题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为该球面外法线向量的方向余弦，则 $\oiint_{\Sigma}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ 等于 （A） $4 \pi R^{5}$ ． （B） $2 \pi R^{3}$ ． （C） $3 \pi R^{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12 \pi R^{5}}{5}$ ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由高斯公式，$\oiint_{\Sigma}(x^3\cos\alpha+y^3\cos\beta+z^3\cos\gamma)dS=\iiint_V (3x^2+3y^2+3z^2)dv=3\iiint_V (x^2+y^2+z^2)dv$，其中$V$为球体$x^2+y^2+z^2\leq R^2$。 步骤2：用球坐标，$\displaystyle \iiint_V (x^2+y^2+z^2)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}d\phi\int_0^R r^2\cdot r^2\sin\phi dr=4\pi\cdot\frac{R^5}{5}=\frac{4\pi R^5}{5}$，乘以3得$\displaystyle \frac{12\pi R^5}{5}$，对应D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
由高斯公式，\(\oiint_{\Sigma}(x^3\cos\alpha+y^3\cos\beta+z^3\cos\gamma)dS = \iiint_V (3x^2+3y^2+3z^2)dv\)，其中\(V\)为球体\(x^2+y^2+z^2 \leq R^2\)。
公式：高斯公式：\(\oiint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dv\)，其中\(\mathbf{F} = (x^3, y^3, z^3)\)，散度\(\nabla \cdot \mathbf{F} = 3x^2+3y^2+3z^2\)。
提示：注意外法线方向余弦对应向量\((\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\)，与高斯公式中的单位外法向量一致。
步骤 2/3
目标：计算三重积分
使用球坐标变换：\(x = r\sin\phi\cos\theta, y = r\sin\phi\sin\theta, z = r\cos\phi\)，体积元\(dv = r^2\sin\phi dr d\phi d\theta\)，积分区域\(0 \leq r \leq R, 0 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2\pi\)。则\(\iiint_V (x^2+y^2+z^2)dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} d\phi \int_0^R r^2 \cdot r^2 \sin\phi dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{5}\)。
公式：球坐标：\(x^2+y^2+z^2 = r^2\)，\(dv = r^2\sin\phi dr d\phi d\theta\)。
提示：注意积分限：\(\theta\)从0到\(2\pi\)，\(\phi\)从0到\(\pi\)，\(r\)从0到\(R\)。
步骤 3/3
目标：乘以系数得到最终结果
原积分为\(3 \times \frac{4\pi R^5}{5} = \frac{12\pi R^5}{5}\)。
提示：不要忘记高斯公式中的系数3。
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