kaoyan1basic 线性代数 第656题
📝 题目
### 第656题 函数 $\displaystyle f(x, y)=\arctan \frac{y}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的梯度向量为 （A）$-\boldsymbol{i}$ ． （B） $\boldsymbol{i}$ ． （C）$-j$ ． （D） $\boldsymbol{j}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x,y)=\arctan\frac{y}{x}$，梯度$\displaystyle \nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot(-\frac{y}{x^2})=-\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$。在点$(1,0)$处，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=0$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=1$，故梯度为$(0,1)$，即$\boldsymbol{j}$，选D。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出梯度公式
梯度定义为 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
提示：梯度是一个向量，其分量是偏导数。
步骤 2/5
目标：计算偏导数 ∂f/∂x
f(x,y) = arctan(y/x)，对x求偏导：∂f/∂x = 1/(1+(y/x)^2) * (-y/x^2) = -y/(x^2+y^2)。
公式：∂f/∂x = -y/(x^2+y^2)
提示：注意链式法则，arctan的导数是1/(1+u^2)，u=y/x。
步骤 3/5
目标：计算偏导数 ∂f/∂y
对y求偏导：∂f/∂y = 1/(1+(y/x)^2) * (1/x) = x/(x^2+y^2)。
公式：∂f/∂y = x/(x^2+y^2)
提示：同样使用链式法则。
步骤 4/5
目标：代入点(1,0)求梯度
将x=1, y=0代入：∂f/∂x = -0/(1+0)=0，∂f/∂y = 1/(1+0)=1，所以梯度为(0,1)。
公式：∇f(1,0) = (0,1)
提示：注意分母x^2+y^2=1。
步骤 5/5
目标：确定梯度向量方向
梯度向量(0,1)对应单位向量j，即沿y轴正方向。
提示：i是x轴方向，j是y轴方向。
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