kaoyan1basic 线性代数 第657题
📝 题目
### 第657题 设可微函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的梯度向量为 $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{l}=(0,2,2)$ 为一常向量，且 $\boldsymbol{g} \cdot \boldsymbol{l}=1$ ，则函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}$ 方向的方向导数等于 （A） $2 \sqrt{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ． （C）$-2 \sqrt{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：方向导数等于梯度向量与方向单位向量的点积。方向向量$\boldsymbol{l}=(0,2,2)$，其模为$|\boldsymbol{l}|=\sqrt{0^2+2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，单位方向向量为$\displaystyle \frac{\boldsymbol{l}}{|\boldsymbol{l}|}=\frac{(0,2,2)}{2\sqrt{2}}$。已知$\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{l}=1$，则方向导数为$\displaystyle \boldsymbol{g}\cdot\frac{\boldsymbol{l}}{|\boldsymbol{l}|}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算方向向量 l 的模
方向向量 l = (0,2,2)，其模为 |l| = sqrt(0^2+2^2+2^2) = sqrt(8) = 2√2。
公式：|l| = sqrt(l_x^2 + l_y^2 + l_z^2)
提示：注意模的计算公式，不要漏掉平方和开方。
步骤 2/3
目标：求单位方向向量
单位方向向量为 l/|l| = (0,2,2)/(2√2) = (0, 1/√2, 1/√2)。
公式：单位向量 = 向量 / 模
提示：单位向量方向与原向量相同，长度为1。
步骤 3/3
目标：利用方向导数公式计算
方向导数 = 梯度 g 与单位方向向量的点积。已知 g·l = 1，所以方向导数 = g·(l/|l|) = (g·l)/|l| = 1/(2√2)。
公式：方向导数 = ∇f·(l/|l|)
提示：方向导数等于梯度与单位方向向量的点积，注意是单位向量。
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