kaoyan1basic 线性代数 第591题

教材习题

📝 题目

### 第591题 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \neq \mathbf{0}$ ，若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，则 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\sqrt{3}$ **解析**：由$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$，则$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\sin\theta$，且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}$。同理，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$，可知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$两两垂直且构成右手系。设$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=t$，由$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$得$t=t\cdot t\cdot\sin90^\circ=t^2$，解得$t=1$（因非零向量）。故$|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=3$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：分析向量关系，得出两两垂直
由 a = b × c 可知 a 垂直于 b 和 c；同理，b = c × a 知 b 垂直于 c 和 a；c = a × b 知 c 垂直于 a 和 b。因此 a, b, c 两两垂直，且构成右手系。
公式：叉积性质：若 x = y × z，则 x ⊥ y 且 x ⊥ z
提示：注意叉积方向满足右手定则
步骤 2/4
目标：设模长相等，利用叉积模长公式列方程
设 |a| = |b| = |c| = t（由对称性可设），由 a = b × c 得 |a| = |b||c| sinθ，其中 θ = 90°，故 t = t·t·1 = t²。
公式：|x × y| = |x||y| sinθ
提示：两两垂直时 sin90°=1
步骤 3/4
目标：解方程求模长
由 t = t² 且 t > 0（非零向量），解得 t = 1。
提示：注意排除 t=0
步骤 4/4
目标：求和得结果
|a| + |b| + |c| = 1 + 1 + 1 = 3。

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