kaoyan1basic 线性代数 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（填空题） 24．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $p=$ 2．$q=0$ ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 在点 $(0,1,1)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2x+2y+z=4$ **解析**：步骤1：二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1\end{bmatrix}$，正惯性指数2，负惯性指数0，则$\boldsymbol{A}$半正定，特征值$\lambda_1=1+2a$（单重），$\lambda_2=1-a$（二重），由$p=2,q=0$得$\lambda_1>0,\lambda_2>0$且一个特征值为0？实际上$p=2$表示正特征值个数为2，$q=0$表示无负特征值，故有一个特征值为0，即$1+2a=0$或$1-a=0$，但若$1-a=0$则特征值为$3,0,0$，正惯性指数1，不符；故$1+2a=0$，得$a=-1/2$，此时特征值为$0,3/2,3/2$。 步骤2：$f=1$即$x_1^2+x_2^2+x_3^2 - x_1x_2 - x_1x_3 - x_2x_3 =1$，在点$(0,1,1)$处梯度为$(2,2,1)$，切平面方程$2x+2y+z=4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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