kaoyan1basic 线性代数 第23题
📝 题目
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\eta}$ 为 3 维列向量． （1）求 $\boldsymbol{\eta}$ ； （2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ； （3）令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}+\boldsymbol{\eta}$ ，其中 $\boldsymbol{x}=[x, y, z]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{y}=\left[x_{1}, y_{1}, z_{1}\right]^{\mathrm{T}}$ ，化简二次曲面方程 $2 x^{2}+y^{2}-4 x y- 4 y z-4 x-5=0$ ，并说明它表示什么曲面．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\boldsymbol{\eta}=(1,0,0)^\mathrm{T}$；（2）$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}2/\sqrt{5} & 0 & 1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & 0 & -2/\sqrt{5} \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}(4,-2,1)$；（3）化简为$4x_1^2-2y_1^2+z_1^2=1$，表示单叶双曲面 **解析**：步骤1：解$A\boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\beta}=0$得$\boldsymbol{\eta}=(1,0,0)^\mathrm{T}$。 步骤2：求$A$的特征值$4,-2,1$及对应特征向量，正交化单位化得$\boldsymbol{P}$。 步骤3：代入变换，原方程化为$4x_1^2-2y_1^2+z_1^2=1$，为单叶双曲面。 **难度**：★★★★☆