kaoyan1basic 线性代数 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right]\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]$ ，且 $\sum_{i=1}^{3} a_{0}=2, A B=O$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ． （1）用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； （2）求该二次型； （3）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 表示什么曲面？
💡 答案解析
**答案**：（1）标准形$2y_1^2+2y_2^2$，正交变换$x=\boldsymbol{Q}y$，$\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}$；（2）$f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_3$；（3）椭圆柱面 **解析**：步骤1：由$AB=O$且$B$可逆？计算$\det(B)=0$，$B$不可逆，由$AB=O$知$A$的列向量与$B$的行向量正交，结合$\sum a_{ii}=2$，解得$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$。 步骤2：特征值$\lambda_1=2$（二重），$\lambda_2=0$，正交变换得标准形$2y_1^2+2y_2^2$。 步骤3：$f=1$即$2y_1^2+2y_2^2=1$，表示椭圆柱面。 **难度**：★★★★☆