kaoyan1basic 线性代数 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{2}-3 x_{3} x_{1}=1$ 表示 $(\quad)$ 。 （A）椭球面 （B）双曲柱面 （C）双叶双两面 （D）单叶双曲面
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：二次型$f=x_1x_2+x_1x_2-3x_3x_1=2x_1x_2-3x_1x_3$，对应矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & -3/2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3/2 & 0 & 0\end{bmatrix}$。 步骤2：特征值为$\displaystyle \lambda_1=\frac{\sqrt{13}}{2}, \lambda_2=-\frac{\sqrt{13}}{2}, \lambda_3=0$，正负惯性指数均为1，方程$f=1$表示单叶双曲面。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简二次型表达式
合并同类项：f = x1x2 + x1x2 - 3x3x1 = 2x1x2 - 3x1x3
提示：注意合并同类项时系数相加
步骤 2/5
目标：写出二次型对应的矩阵
根据二次型f = 2x1x2 - 3x1x3，写出对称矩阵A。对于交叉项xixj，系数aij = aji = 系数/2。因此A = [[0, 1, -3/2], [1, 0, 0], [-3/2, 0, 0]]
公式：f = x^T A x，其中A为对称矩阵
提示：注意交叉项系数要除以2
步骤 3/5
目标：计算矩阵的特征值
解特征方程|A - λE| = 0，得特征值λ1 = √13/2，λ2 = -√13/2，λ3 = 0
公式：|A - λE| = 0
提示：计算行列式时注意简化
步骤 4/5
目标：确定正负惯性指数
特征值正负个数：正特征值1个，负特征值1个，零特征值1个。因此正惯性指数p=1，负惯性指数q=1
提示：惯性指数由非零特征值的符号决定
步骤 5/5
目标：判断二次曲面类型
方程f=1，即二次型等于常数。由于正负惯性指数均为1，且常数项为正，根据二次曲面分类，该方程表示单叶双曲面
提示：单叶双曲面的标准形式：x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1
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