kaoyan1basic 线性代数 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，则以下不是＂ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 正定＂的充要条件的是（）。 （A）$A$ 为初等矩阵的乘积 （B） $\boldsymbol{A}$ 为 $\mathbf{R}^{n}$ 的某两个基之间的过渡矩阵 （C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关 （D） $\boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相似
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}$正定当且仅当$\boldsymbol{A}$列满秩（或行满秩，因$\boldsymbol{A}$为方阵时等价于可逆）。 步骤2：选项A：初等矩阵乘积可逆，充要；选项B：过渡矩阵可逆，充要；选项C：行向量组线性无关即$\boldsymbol{A}$可逆，充要；选项D：$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{E}$相似要求$\boldsymbol{A}$可对角化且特征值全为1，不是正定的充要条件（例如$\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{E}$，$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=4\boldsymbol{E}$正定，但$\boldsymbol{A}$不与$\boldsymbol{E}$相似）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解A^TA正定的充要条件
A^TA正定当且仅当A列满秩，由于A是方阵，等价于A可逆。
提示：正定矩阵的充要条件是所有顺序主子式大于0，但对于A^TA，其正定性等价于A列满秩。
步骤 2/5
目标：分析选项A
初等矩阵的乘积是可逆矩阵，因此A可逆，是A^TA正定的充要条件。
提示：初等矩阵对应初等变换，乘积可逆。
步骤 3/5
目标：分析选项B
过渡矩阵是可逆矩阵，因此A可逆，是A^TA正定的充要条件。
提示：基变换的过渡矩阵总是可逆的。
步骤 4/5
目标：分析选项C
行向量组线性无关等价于A可逆（方阵），因此是A^TA正定的充要条件。
提示：方阵行满秩等价于可逆。
步骤 5/5
目标：分析选项D
A与E相似要求A可对角化且特征值全为1，但A^TA正定只要求A可逆，例如A=2E时A^TA=4E正定，但A不与E相似（特征值为2）。因此D不是充要条件。
提示：相似于E的矩阵只能是E本身，因为相似矩阵有相同特征值。
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