kaoyan1basic 线性代数 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为 3 维列向量，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\right) x$ 。 （1）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关，证明 $f$ 为正定二次型； （2）若 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right], \boldsymbol{\gamma}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ a\end{array}\right]$ ，求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解，并求二次型的规范形．
💡 答案解析
**答案**：（1）见解析；（2）解为$x = k(1,1,1)^\mathrm{T}$，规范形为$y_1^2+y_2^2$ **解析**：步骤1：（1）由于$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$线性无关，则矩阵$\boldsymbol{M}=[\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}]$满秩，二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}+\boldsymbol{\gamma}\boldsymbol{\gamma}^\mathrm{T}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{M}^\mathrm{T}$，对任意非零向量$x$，有$x^\mathrm{T}\boldsymbol{A}x = \|\boldsymbol{M}^\mathrm{T}x\|^2 > 0$，故$f$正定。 步骤2：（2）将$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$代入，得$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & 0 & 1+a \\ 0 & 2 & -2-2a \\ 1+a & -2-2a & 4+a^2\end{bmatrix}$，解$f=0$即$\boldsymbol{A}x=0$，解得$x=k(1,1,1)^\mathrm{T}$。 步骤3：二次型秩为2，正惯性指数为2，规范形为$y_1^2+y_2^2$。 **难度**：★★★☆☆