kaoyan1basic 线性代数 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．若可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 可将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 化为规范形 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，同时将二次型 $g\left(x_{1}, x_{2}\right)=-x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 化为标准形 $k_{1} y_{1}^{2}+k_{2} y_{2}^{2}$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及 $k_{1}$ ，$k_{2}$ 的值。
💡 答案解析
**答案**：$P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},\ k_1=1,\ k_2=-1$ **解析**： 步骤1：$f$的矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$，$g$的矩阵$C=\begin{pmatrix}-1&1\\1&2\end{pmatrix}$。 步骤2：$f$规范形为$y_1^2+y_2^2$，即$A$正定，特征值$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}>0$。 步骤3：令$P$使$P^T A P=E$，同时$P^T C P=\begin{pmatrix}k_1&0\\0&k_2\end{pmatrix}$。解$P$，得$P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$，$k_1=1,k_2=-1$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出二次型 f 和 g 的矩阵
二次型 f 的矩阵 A 由系数确定：x1^2 系数为1，x2^2 系数为2，x1x2 系数为2，故 A = [[1,1],[1,2]]。二次型 g 的矩阵 C：x1^2 系数为-1，x2^2 系数为2，x1x2 系数为2，故 C = [[-1,1],[1,2]]。
公式：A = [[1,1],[1,2]], C = [[-1,1],[1,2]]
提示：注意交叉项系数在矩阵中对称分布，每个交叉项系数的一半放在对应位置。
步骤 2/3
目标：分析 f 的规范形条件
f 的规范形为 y1^2 + y2^2，即单位矩阵，说明存在可逆变换 x=Py 使得 P^T A P = E。这意味着 A 正定，实际上 A 的特征值为 (3±√5)/2 > 0。
公式：P^T A P = E
提示：规范形为 y1^2+y2^2 意味着二次型正定，且变换后矩阵为单位阵。
步骤 3/3
目标：利用条件求解 P 和 k1, k2
设 P = [[a,b],[c,d]]，由 P^T A P = E 和 P^T C P = diag(k1,k2) 联立求解。通过解方程组得到一组解：P = [[1,-1],[0,1]]，此时计算 P^T C P = [[1,0],[0,-1]]，故 k1=1, k2=-1。
公式：P^T A P = E, P^T C P = diag(k1,k2)
提示：可先设 P 为下三角矩阵简化计算，注意验证可逆性。
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