kaoyan1basic 线性代数 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\ a & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & b\end{array}\right]$ ，其中 $b$ 为正整数． （1）若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，求出 $a, b$ 的值与矩阵 $\boldsymbol{P}$ ； （2）对于（1）中的 $a, b$ ，是否存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} A Q=B$ ？若存在，求出 $Q$ ．若不存在，说明理由．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=2,b=1,P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$；（2）不存在 **解析**： 步骤1：$P^T A P=B$，则$A$与$B$合同，秩相同。$|A|=4(-3)-2a=-12-2a$，$|B|=2b-4$，且$tr(A)=1,tr(B)=2+b$。 步骤2：由$b$为正整数，解得$a=2,b=1$。 步骤3：求$P$，令$P=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}\\p_{21}&p_{22}\end{pmatrix}$，解$P^T A P=B$得$P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$。 步骤4：正交矩阵$Q$需$Q^T A Q=B$且$Q^T Q=E$，但$A$不对称，故不存在。 **难度**：★★★★☆