kaoyan1basic 线性代数 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}, g\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 的二次型矩阵为 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ ． （1）是否存在可逆矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，使 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}$ ？若存在，求出矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，若不存在，说明理由． （2）求 $\displaystyle \max _{x \neq 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ ，其中 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）存在，$D=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$；（2）$\max=4$ **解析**： 步骤1：$B$正定，顺序主子式$1>0,|B|=1>0$，故存在可逆$D$使$B=D^T D$。由$B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$，取$D=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$。 步骤2：$f$的矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}$，$g$的矩阵$B$。$\displaystyle \max_{x\neq0}\frac{f}{g}=\max$特征值问题，即$|A-\lambda B|=0$，解得$\lambda=0,4$，最大值为4。 **难度**：★★★☆☆