kaoyan1basic 线性代数 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 6 \\ 4 & 4 & 4 \\ 0 & 8 & 9\end{array}\right] x$ ，其中 $x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{0} \\ x_{8}\end{array}\right]$ ． （1）用正交变换 $x=Q y$ 将其化为标准形，并求出 $Q$ ； （2）求 $\displaystyle g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$ 的最大值，并求出一个最大值点、其中 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \neq 0$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）标准形$2y_1^2+4y_2^2+8y_3^2$，$\displaystyle Q=\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$；（2）最大值8，最大值点$(1,-2,0)^T$ **解析**： 步骤1：矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&6\\4&4&4\\0&8&9\end{pmatrix}$不对称，但题目中二次型应为对称形式，实际$A$应为$\displaystyle \frac{A+A^T}{2}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$。 步骤2：特征值为$0,0,14$，标准形为$14y_3^2$。 步骤3：最大值即最大特征值14，对应特征向量$(1,2,3)^T$。 **难度**：★★★★☆