kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$E$ 或 $\displaystyle -\frac{1}{2}E$ **解析**： 步骤1：方程$E-2A+A^2-2A^3=O$，即$(E-2A)+A^2(1-2A)=0$，或写成$(E+A^2)(E-2A)=0$？因式分解：$E-2A+A^2-2A^3 = (E+A^2)(E-2A)$。 步骤2：由于$A$为实对称矩阵，可对角化，且特征值满足$(1+\lambda^2)(1-2\lambda)=0$，故特征值$\displaystyle \lambda= \frac{1}{2}$或$\lambda=\pm i$，但实对称矩阵特征
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对方程进行因式分解
将方程 E - 2A + A^2 - 2A^3 = O 进行因式分解，得到 (E + A^2)(E - 2A) = O。
公式：(E + A^2)(E - 2A) = O
提示：注意因式分解时，矩阵乘法不交换，但这里E与A可交换，故可类似多项式分解。
步骤 2/3
目标：分析特征值条件
由于A是实对称矩阵，可对角化，且特征值均为实数。由因式分解知，对A的任一特征值λ，有(1+λ^2)(1-2λ)=0，解得λ=1/2或λ=±i。但实对称矩阵特征值必为实数，故λ=1/2。
公式：(1+λ^2)(1-2λ)=0
提示：实对称矩阵的特征值必为实数，排除复数特征值。
步骤 3/3
目标：确定矩阵A的形式
由于A的特征值只有1/2，且A可对角化，故A相似于(1/2)E，即A = (1/2)E。但需注意，因式分解中(E-2A)可能为零矩阵，即A=(1/2)E；也可能(E+A^2)为零矩阵？但E+A^2=O要求A^2=-E，特征值为±i，与实对称矛盾，故舍去。因此A=(1/2)E。
公式：A = (1/2)E
提示：检查所有可能情况，排除不满足实对称条件的解。
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