kaoyan1basic 线性代数 第6题

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📝 题目

### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵，则下列等式不成立的是（ ）。 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ （B）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$ （C）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}$ （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}$

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：对于选项A，矩阵乘法满足交换律当且仅当矩阵可交换，由于$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$与$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$可交换（因为$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$），故A成立。 步骤2：对于选项B，$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$与$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$一般不可交换，反例：取$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$，则$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}$，$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=\begin{bmatrix}-1&1\\0&-1\end{bmatrix}$，计算得$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})\neq(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$，故B不成立。 步骤3：对于选项C，$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}$是$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$的多项式，故与$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$可交换，成立。 步骤4：对于选项D，转置运算满足$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}$，成立。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：判断选项A是否成立
计算 (A+E)(A-E) = A^2 - E = (A-E)(A+E)，因此两者可交换，选项A成立。
公式：(A+E)(A-E) = A^2 - E = (A-E)(A+E)
提示：矩阵乘法交换性需验证，但此处因差一个单位阵，可交换。
步骤 2/4
目标：判断选项B是否成立
取反例：A = [[0,1],[0,0]]，则 (A+E)^{-1} = [[1,-1],[0,1]]，A-E = [[-1,1],[0,-1]]，计算得 (A+E)^{-1}(A-E) = [[-1,2],[0,-1]]，而 (A-E)(A+E)^{-1} = [[-1,0],[0,-1]]，两者不等，故B不成立。
公式：无
提示：逆矩阵与一般矩阵通常不可交换，可通过反例验证。
步骤 3/4
目标：判断选项C是否成立
伴随矩阵 (A+E)* 是 (A+E) 的多项式，因此与 (A-E) 可交换，选项C成立。
公式：若AB=BA，则f(A)B=Bf(A)（f为多项式）
提示：伴随矩阵可表示为原矩阵的多项式（当矩阵可逆时），但此处即使不可逆，结论仍成立。
步骤 4/4
目标：判断选项D是否成立
计算 (A+E)^T (A-E) = (A^T+E)(A^T-E) = (A^T-E)(A^T+E) = (A-E)(A+E)^T，因此成立。
公式：(A+E)^T (A-E) = (A^T+E)(A^T-E) = (A^T-E)(A^T+E) = (A-E)(A+E)^T
提示：转置运算满足 (AB)^T = B^T A^T，且 (A±E)^T = A^T ± E。

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