kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶方阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 2 维非零列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，$P=[\alpha, A \boldsymbol{\alpha}], A^{2} \alpha+A \boldsymbol{\alpha}- 2 \alpha=0$ ，若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P B}$ ，则 $\boldsymbol{B}=()$ 。 （A）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$A^2\alpha+A\alpha-2\alpha=0$得$A^2\alpha=-A\alpha+2\alpha$。 步骤2：设$P=[\alpha, A\alpha]$，则$AP=[A\alpha, A^2\alpha]=[A\alpha, -A\alpha+2\alpha]$。 步骤3：设$B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}$，由$AP=PB$得： $A\alpha = b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha$， $A^2\alpha = b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha$。 步骤4：比较系数：第一式得$b_{11}=0, b_{21}=1$；第二式代入$A^2\alpha=-A\alpha+2\alpha$得$-A\alpha+2\alpha = b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha$，比较得$b_{12}=2, b_{22}=-1$。故$B=\begin{bmatrix}0&2\\1&-1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆