kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right]$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ． （1）求 $a$ ； （2）求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1$；（2）$P=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$（答案不唯一，需满足$AP=B$的可逆矩阵） **解析**： （1）步骤1：$A$经初等列变换化为$B$，则$A$与$B$等价，秩相等。计算$|A|$： $|A|=\begin{vmatrix}1&2&a\\1&3&0\\2&7&-a\end{vmatrix}=1\cdot(3\cdot(-a)-0\cdot7)-2\cdot(1\cdot(-a)-0\cdot2)+a\cdot(1\cdot7-3\cdot2)=-3a+2a+a=0$，故$|A|=0$恒成立。 步骤2：计算$|B|$： $|B|=\begin{vmatrix}1&a&2\\0&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot1-1\cdot1)-a\cdot(0\cdot1-1\cdot(-1))+2\cdot(0\cdot1-1\cdot(-1))=0-a\cdot1+2\cdot1=2-a$。 由$r(A)=r(B)$，且$A$可经初等列变换化为$B$，故$|B|=0$，得$a=2$。 （2）步骤1：$a=2$时，$A=\begin{bmatrix}1&2&2\\1&3&0\\2&7&-2\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&1\\-1&1&1\end{bmatrix}$。 步骤2：求可逆矩阵$P$使$AP=B$，即$P=A^{-1}B$。计算$A^{-1}$： $A^{-1}=\begin{bmatrix}3&-2&0\\-1&1&0\\-1&1&1\end{bmatrix}$（具体计算略），则$P=A^{-1}B=\begin{bmatrix}3&-2&0\\-1&1&0\\-1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&1\\-1&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&4&4\\-1&-1&-1\\-2&0&0\end{bmatrix}$。 验证$P$可逆（$|P|=-2\neq0$）。 **难度**：★★★★☆