kaoyan1basic 线性代数 第9题

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📝 题目

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，$b$ 为常数。记分块矩阵

$$ $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc}$ $\boldsymbol{E} & 0 \\$ -\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{*} & |\boldsymbol{A}| $\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{cc}$ $\boldsymbol{A} & \boldsymbol{\alpha} \\$ $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} & b$ $\end{array}\right],$ $$

其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

## 第4章 线性方程组

💡 答案解析

**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：计算$PQ$： $PQ=\begin{bmatrix}E&0\\-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*}&|A|\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&\alpha\\\alpha^{\mathrm{T}}&b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}EA+0\cdot\alpha^{\mathrm{T}}&E\alpha+0\cdot b\$-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*})A+|A|\alpha^{\mathrm{T}}&(-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*})\alpha+|A|b\end{bmatrix}$。 步骤2：利用$A^{*}A=|A|E$，得$(-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*})A=-\alpha^{\mathrm{T}}(A^{*}A)=-\alpha^{\mathrm{T}}|A|E=-|A|\alpha^{\mathrm{T}}$，故左上角为$A$，右上角为$\alpha$，左下角为$-|A|\alpha^{\mathrm{T}}+|A|\alpha^{\mathrm{T}}=0$，右下角为$-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*}\alpha+|A|b$。 步骤3：由$A^{*}\alpha=|A|A^{-1}\alpha$，得$-\alpha^{\mathrm{T}}A^{*}\alpha=-|A|\alpha^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha$，故右下角为$|A|(b-\alpha^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha)$。 因此$PQ=\begin{bmatrix}A&\alpha\\0&|A|(b-\alpha^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha)\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算分块矩阵乘积 PQ
将分块矩阵 P 和 Q 相乘，得到 PQ 的四个子块。
公式：PQ = [[E, 0], [-αᵀA*, |A|]] * [[A, α], [αᵀ, b]] = [[EA+0·αᵀ, Eα+0·b], [(-αᵀA*)A+|A|αᵀ, (-αᵀA*)α+|A|b]]
提示：分块矩阵乘法与普通矩阵乘法类似，注意子块顺序和维度匹配。
步骤 2/4
目标：化简左下角子块
利用伴随矩阵性质 A*A = |A|E，化简 (-αᵀA*)A = -αᵀ(A*A) = -αᵀ|A|E = -|A|αᵀ。因此左下角为 -|A|αᵀ + |A|αᵀ = 0。
公式：A*A = |A|E
提示：注意 αᵀ 是行向量，与矩阵乘法时需保持顺序。
步骤 3/4
目标：化简右下角子块
将 A*α 表示为 |A|A⁻¹α，则 -αᵀA*α = -|A|αᵀA⁻¹α。因此右下角为 |A|b - |A|αᵀA⁻¹α = |A|(b - αᵀA⁻¹α)。
公式：A* = |A|A⁻¹
提示：A 可逆，故 A* = |A|A⁻¹。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
综合以上，PQ = [[A, α], [0, |A|(b - αᵀA⁻¹α)]]。
提示：结果是一个分块上三角矩阵。

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