kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y+z=1, \\ x+a y+z=1, \\ x+y+a z=-2\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-2$ **解析**： 步骤1：方程组有无穷多解，则系数矩阵与增广矩阵秩相等且小于未知数个数3。系数矩阵$A=\begin{bmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{bmatrix}$，增广矩阵$\bar{A}=\begin{bmatrix}a&1&1&1\\1&a&1&1\\1&1&a&-2\end{bmatrix}$。 步骤2：计算$|A|=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=(a+2)(a-1)^2$。令$|A|=0$得$a=-2$或$a=1$。 步骤3：当$a=1$时，增广矩阵化为$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&-2\end{bmatrix}$，秩为1，但第三行对应矛盾方程$0=-3$，无解。 步骤4：当$a=-2$时，增广矩阵化为$\begin{bmatrix}-2&1&1&1\\1&-2&1&1\\1&1&-2&-2\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&-2&-2\\0&-3&3&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}$，秩为2，有无穷多解。故$a=-2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定方程组有无穷多解的条件
方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵与增广矩阵秩相等且小于未知数个数3。
提示：注意区分无解、唯一解和无穷多解的条件。
步骤 2/6
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
系数矩阵 A = [[a,1,1],[1,a,1],[1,1,a]]，增广矩阵 \bar{A} = [[a,1,1,1],[1,a,1,1],[1,1,a,-2]]。
提示：矩阵书写要规范，注意增广矩阵最后一列是常数项。
步骤 3/6
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 |A| = det([[a,1,1],[1,a,1],[1,1,a]]) = (a+2)(a-1)^2。令 |A|=0 得 a=-2 或 a=1。
公式：|A| = (a+2)(a-1)^2
提示：行列式计算可用行和相等技巧：将第2、3行加到第1行，提取公因子。
步骤 4/6
目标：检验 a=1 的情况
当 a=1 时，增广矩阵化为 [[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,-2]]，秩为1，但第三行对应方程 0=-3，矛盾，故无解。
提示：注意检查增广矩阵的秩是否与系数矩阵相等。
步骤 5/6
目标：检验 a=-2 的情况
当 a=-2 时，增广矩阵化为 [[-2,1,1,1],[1,-2,1,1],[1,1,-2,-2]]，通过初等行变换化为行阶梯形：[[1,1,-2,-2],[0,-3,3,3],[0,0,0,0]]，秩为2，小于3，故有无穷多解。
提示：行变换时注意保持等价性，最终得到全零行说明秩不足。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，满足条件的 a = -2。
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