kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设 3 维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，$k, l$ 均为非零常数，
$$ $\boldsymbol{\beta}_{1}=k \boldsymbol{\alpha}_{1}+l \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}=k \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}=k \boldsymbol{\alpha}_{3}+l \boldsymbol{\alpha}_{1},$ $$
记 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right]$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件为 ． （A）$k-l=0$ （B）$k+l=0$ （C）$k-l \neq 0$ （D）$k+l \neq 0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关当且仅当$Bx=0$有非零解。由$\beta_1,\beta_2,\beta_3$与$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的关系，写出矩阵形式：$[\beta_1,\beta_2,\beta_3]=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]\begin{bmatrix}k&0&l\\l&k&0\\0&l&k\end{bmatrix}$。 步骤2：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关当且仅当系数矩阵$C=\begin{bmatrix}k&0&l\\l&k&0\\0&l&k\end{bmatrix}$不可逆，即$|C|=0$。 步骤3：计算$|C|=k^3+l^3=(k+l)(k^2-kl+l^2)=0$，得$k+l=0$（因$k,l$非零，$k^2-kl+l^2\neq0$）。 **难度**：★★★☆☆