kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则 ． （A）当 $m>n$ 时，必有 $|\boldsymbol{A B}|=0$ （B）当 $m>n$ 时， $\boldsymbol{A B}$ 必可逆 （C）当 $n>m$ 时， $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有唯一零解 （D）当 $n>m$ 时，必有 $r(\boldsymbol{A B})
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$A$是$m\times n$，$B$是$n\times m$，则$AB$是$m\times m$方阵。当$m>n$时，$r(AB)\leq r(A)\leq n
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析矩阵AB的秩与行列式的关系
A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB是m×m方阵。当m>n时，r(AB) ≤ r(A) ≤ n < m，故AB不可逆，|AB|=0。
公式：r(AB) ≤ min(r(A), r(B)) ≤ min(m, n)
提示：注意矩阵秩的不等式：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
步骤 2/3
目标：判断选项A和B的正确性
由步骤1，当m>n时，|AB|=0，故A正确；AB不可逆，故B错误。
提示：方阵可逆的充要条件是行列式不为零。
步骤 3/3
目标：分析当n>m时的情况
当n>m时，AB是m×m方阵，r(AB) ≤ m，但可能等于m（例如A行满秩且B列满秩），因此ABx=0不一定只有零解，C错误；r(AB)可能等于m，故D错误。
提示：齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数矩阵满秩。
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