kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>2)$ 阶方阵，$r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解，$k$ 为任意常数，则方程组 $A x=b$ 的通解为 ）． （A）$(k-1) \boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （B）$(k-1) \boldsymbol{\alpha}_{1}-k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （C）$(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （D）$(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}-k \boldsymbol{\alpha}_{2}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由$r(A^{*})=1$且$n>2$，知$r(A)=n-1$，故$Ax=b$的基础解系含$n-(n-1)=1$个解向量。 步骤2：$\alpha_1,\alpha_2$是$Ax=b$的两个不同解，则$\alpha_1-\alpha_2$是$Ax=0$的非零解，可作为基础解系。 步骤3：通解为$\alpha_1+k(\alpha_1-\alpha_2)=(k+1)\alpha_1-k\alpha_2$，或等价形式。选项A：$(k-1)\alpha_1+k\alpha_2=k(\alpha_1+\alpha_2)-\alpha_1$，不是标准形式；但令$k'=k-1$，则$(k-1)\alpha_1+k\alpha_2=k'\alpha_1+(k'+1)\alpha_2=(k'+1)\alpha_2+k'(\alpha_1-\alpha_2)$，不是以$\alpha_1$为特解。验证：取$k=1$得$0\cdot\alpha_1+1\cdot\alpha_2=\alpha_2$，是特解；$k=0$得$-\alpha_1$，不是特解。实际上，通解可写为$\alpha_1+k(\alpha_1-\alpha_2)$，即$(k+1)\alpha_1-k\alpha_2$，对应选项D。但选项A：$(k-1)\alpha_1+k\alpha_2=k(\alpha_1+\alpha_2)-\alpha_1$，当$k=1$时得$\alpha_2$，当$k=0$时得$-\alpha_1$，而$-\alpha_1$不是解，故A错误。 步骤4：正确形式应为$(k+1)\alpha_1-k\alpha_2$，对应选项D。但题目中选项D为$(k+1)\alpha_1-k\alpha_2$，故答案选D。 **难度**：★★★☆☆