kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \text { 有 } 3 \text { 个线性无关的解．记该方程组的系 } \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$数矩阵为 $A$ ．求： （1）$a, b$ 的值； （2）该方程组的通解； （3）齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解。
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=2, b=-3$；（2）通解为$\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+k_1\begin{bmatrix}2\\-3\\1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}-4\\5\\0\\1\end{bmatrix}$；（3）通解为$k\begin{bmatrix}1\\-2\\1\\0\end{bmatrix}$ **解析**： （1）步骤1：方程组有3个线性无关的解，则$n-r(A)=3$，故$r(A)=4-3=1$。系数矩阵$A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\4&3&5&-1\\a&1&3&b\end{bmatrix}$。 步骤2：由$r(A)=1$，知所有2阶子式为0。取前两行前两列子式：$\begin{vmatrix}1&1\\4&3\end{vmatrix}=-1\neq0$，矛盾，故$r(A)\geq2$。重新分析：方程组有3个线性无关解，则导出组基础解系含3个向量，故$r(A)=1$，但前两行线性无关，故$r(A)\geq2$，矛盾。实际上，方程组有3个线性无关解，说明解空间维数为3，则$r(A)=1$，但系数矩阵前两行线性无关，故需第三行与前两行线性相关。 步骤3：由前两行线性无关，第三行可由前两行线性表示。设第三行$=k_1\times$第一行$+k_2\times$第二行，比较元素：$a=k_1+4k_2$，$1=k_1+3k_2$，$3=k_1+5k_2$，$b=k_1-k_2$。解后三个方程：由$1=k_1+3k_2$和$3=k_1+5k_2$相减得$2=2k_2$，$k_2=1$，代入得$k_1=-2$，则$a=-2+4=2$，$b=-2-1=-3$。 （2）步骤1：$a=2,b=-3$时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\4&3&5&-1\\2&1&3&-3\end{bmatrix}$，$r(A)=2$，方程组有$4-2=2$个线性无关解，但题目说“有3个线性无关的解”，矛盾。重新检查：方程组有3个线性无关解，则$n-r(A)=3$，$r(A)=1$，但前两行线性无关，故不可能。因此题目条件有误，实际应为有2个线性无关解。 步骤2：按$r(A)=2$计算，增广矩阵$\bar{A}=\begin{bmatrix}1&1&1&1&-1\\4&3&5&-1&-1\\2&1&3&-3&1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&1&1&-1\\0&-1&1&-5&3\\0&-1&1&-5&3\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&2&-4&2\\0&1&-1&5&-3\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$，得通解$\begin{bmatrix}2\\-3\\0\\0\end{bmatrix}+k_1\begin{bmatrix}-2\\1\\1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}4\\-5\\0\\1\end{bmatrix}$。 （3）步骤1：$A^{\mathrm{T}}Ax=0$与$Ax=0$同解（因$r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)$），故求$Ax=0$的通解。 步骤2：由（2）中行最简形，$Ax=0$的基础解系为$\begin{bmatrix}-2\\1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}4\\-5\\0\\1\end{bmatrix}$，故通解为$k_1\begin{bmatrix}-2\\1\\1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}4\\-5\\0\\1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★★☆