kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 经正交变换可化为标准形 $f=5 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a=(\quad)$ 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：二次型矩阵特征值为$5,-1,-1$，迹为$a+2=5-1-1=3$，得$a=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出二次型矩阵
二次型 f = a(x1^2+x2^2+x3^2) + 4(x1x2+x1x3+x2x3) 对应的矩阵为 A = [[a, 2, 2], [2, a, 2], [2, 2, a]]。
公式：二次型矩阵元素：x_i^2 系数为 a，x_ix_j (i≠j) 系数一半为 2。
提示：注意交叉项系数要除以2。
步骤 2/3
目标：利用正交变换标准形得到特征值
正交变换下标准形为 5y1^2 - y2^2 - y3^2，所以矩阵 A 的特征值为 5, -1, -1。
公式：标准形系数即为特征值。
提示：正交变换不改变特征值。
步骤 3/3
目标：利用矩阵的迹求参数 a
矩阵 A 的迹 tr(A) = a + a + a = 3a，也等于特征值之和 5 + (-1) + (-1) = 3，所以 3a = 3，解得 a = 1。
公式：tr(A) = λ1+λ2+λ3
提示：迹等于特征值之和。
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