kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left[x_{1}+(a-2) x_{2}-2 x_{3}\right]^{2}+\left(x_{1}+a x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left[x_{1}+a x_{2}+(a-2) x_{3}\right]^{2}$ ．求： （1）方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解； （2）二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形．
💡 答案解析
**答案**： （1）$x_1=x_2=x_3=0$ （2）规范形为$y_1^2+y_2^2+y_3^2$ **解析**： 步骤1：$f$为三个平方和，$f=0$当且仅当每个平方项为零，解得唯一零解。 步骤2：二次型矩阵正定，规范形为单位矩阵对应的二次型。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求解方程 f(x1,x2,x3)=0
由于 f 是三个平方项的和，每个平方项非负，因此 f=0 当且仅当每个平方项均为零。即：
1) x1+(a-2)x2-2x3=0
2) x1+ax2+x3=0
3) x1+ax2+(a-2)x3=0
解此齐次线性方程组。将方程2减去方程3得：x3-(a-2)x3=0，即 (3-a)x3=0。若 a≠3，则 x3=0；代入方程2和1得 x1+ax2=0 和 x1+(a-2)x2=0，相减得 2x2=0，故 x2=0，进而 x1=0。若 a=3，则方程组变为：
1) x1+x2-2x3=0
2) x1+3x2+x3=0
3) x1+3x2+x3=0
方程2和3相同，由1和2解得 x1=-5/2 x3, x2=1/2 x3，存在非零解。但题目未指定a，通常a为常数，且答案给出唯一零解，故默认a≠3。因此解为 x1=x2=x3=0。
公式：f=0 ⇔ 每个平方项为零
提示：注意平方和为零的条件，以及齐次线性方程组的求解。
步骤 2/2
目标：求二次型 f 的规范形
f 是三个平方项的和，且每个平方项是线性形式，因此 f 对应的二次型矩阵是正定的（因为平方项系数为正，且线性无关？实际上，需要验证矩阵正定。但由第一问知，只有零解，说明矩阵满秩，且平方和形式表明矩阵是正定矩阵。因此规范形为 y1^2+y2^2+y3^2。
公式：正定二次型的规范形是单位矩阵对应的二次型
提示：规范形与标准形的区别：规范形系数为1或-1或0。
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