kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=4 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}(a>2)$ 的规范形为 () 。 （A）$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ （B）$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ （C）$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ （D）$-y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：二次型矩阵为$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & a \end{bmatrix}$，特征值为$4$和$a\pm2$。由于$a>2$，$a-2>0$，故所有特征值正，规范形为$y_1^2+y_2^2+y_3^2$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出二次型对应的矩阵
二次型 f = 4x1^2 + a x2^2 + a x3^2 + 4 x2 x3，其矩阵为 A = [[4, 0, 0], [0, a, 2], [0, 2, a]]。
公式：二次型矩阵元素：平方项系数在主对角线，交叉项系数一半在对称位置。
提示：注意交叉项 4x2x3 的系数一半为 2，放在 (2,3) 和 (3,2) 位置。
步骤 2/4
目标：计算矩阵的特征值
矩阵 A 是分块对角矩阵，特征值为 4 和子矩阵 [[a, 2], [2, a]] 的特征值。子矩阵特征值满足 |[a-λ, 2; 2, a-λ]| = (a-λ)^2 - 4 = 0，解得 λ = a ± 2。因此全部特征值为 4, a+2, a-2。
公式：特征多项式 det(A-λI)=0。
提示：分块对角矩阵的特征值等于各块特征值的并集。
步骤 3/4
目标：判断特征值的符号
已知 a > 2，则 a-2 > 0，a+2 > 0，4 > 0，所以所有特征值均为正。
提示：正定二次型的规范形为 y1^2+y2^2+y3^2。
步骤 4/4
目标：确定规范形
由于所有特征值大于零，二次型正定，规范形为 y1^2 + y2^2 + y3^2。
公式：规范形中正平方项个数等于正特征值个数。
提示：选项 A 对应正定。
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