kaoyan1basic 线性代数 第22题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ ． （1）求矩阵 $\boldsymbol{C}$ ； （2）计算 $\boldsymbol{A}^{10}$ ．

## 第9章 二次型

💡 答案解析

**答案**：（1）$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$；（2）$A^{10} = 2^9 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ **解析**： （1）由$A=BC$，$B$为$4\times2$矩阵，$C$为$2\times4$矩阵。解线性方程组得$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。 （2）$A^{10} = (BC)^{10} = B(CB)^9 C$，$CB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$，故$(CB)^9 = 2^9 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$，代入得$A^{10} = 2^9 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。

**难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求矩阵C
由A=BC，B为4×2矩阵，C为2×4矩阵。设C=[c1 c2 c3 c4]，其中ci为列向量。将A和B代入方程，解线性方程组得C = [[1,1,1,1],[1,1,1,1]]。
公式：A=BC
提示：注意矩阵乘法维度，C的列数等于A的列数，行数等于B的列数。
步骤 2/2
目标：计算A^10
利用A=BC，则A^10 = (BC)^10 = B(CB)^9 C。计算CB = [[1,1],[1,1]] * [[1,1],[1,1]] = [[2,2],[2,2]] = 2[[1,1],[1,1]]。因此(CB)^9 = 2^9 [[1,1],[1,1]]。代入得A^10 = B * 2^9 [[1,1],[1,1]] * C = 2^9 * (B * [[1,1],[1,1]] * C)。计算B * [[1,1],[1,1]] * C = [[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]，所以A^10 = 2^9 * 全1矩阵。
公式：A^10 = B(CB)^9 C
提示：利用矩阵乘法的结合律，先计算CB降低维度。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第21题 返回列表 第1题 →