kaoyan1basic 线性代数 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．在某一核反应堆中有 $\alpha$ 与 $\beta$ 两种粒子，若每秒钟 1 个 $\alpha$ 粒子分裂成 3 个 $\beta$ 粒子，且 1 个 $\beta$ 粒子分裂成 2 个 $\beta$ 粒子与 1 个 $\alpha$ 粒子．设在 $t=0$ 时刻，该反应堆中只有 1 个 $\alpha$ 粒子，记 $a_{n}, b_{n}$ 分别表示 $t= n$ 秒时 $\alpha$ 粒子、 $\beta$ 粒子的个数。 （1）证明 $\left[\begin{array}{c}a_{n} \\ a_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{n-1}\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$ ； （2）求 $t=n$ 秒时反应堆中的粒子总数 $a_{n}+b_{n}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）略；（2）$\displaystyle a_n+b_n = \frac{1}{2}(3^{n+1} - 1)$ **解析**： （1）由题意得递推关系：$a_{n+1} = b_n$，$b_{n+1} = 3a_n + 2b_n$，消去$b_n$得$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n$，写成矩阵形式即证。 （2）特征方程$\lambda^2-2\lambda-3=0$，特征根$3,-1$，故$a_n = c_1 \cdot 3^n + c_2 \cdot (-1)^n$。由初始条件$a_0=1$，$a_1=0$得$\displaystyle c_1=\frac{1}{4}$，$\displaystyle c_2=\frac{3}{4}$，故$\displaystyle a_n = \frac{1}{4}(3^n + 3(-1)^n)$，$\displaystyle b_n = a_{n+1} = \frac{1}{4}(3^{n+1} - 3(-1)^n)$，总和$\displaystyle a_n+b_n = \frac{1}{4}(3^n + 3^{n+1}) = \frac{1}{2}(3^{n+1} - 1)$。
**难度**：★★★★☆