kaoyan1basic 线性代数 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，已知 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和及主对角线元素之和均为 2 ，且 $\boldsymbol{\alpha}= [2,1,0]^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{\beta}=[0,1,2]^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ 的两个解，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ **解析**：各行元素之和为2，故$(1,1,1)^T$是特征值2的特征向量。主对角线元素之和为2即$\text{tr}(A)=2$。$\alpha$和$\beta$满足$(A-E)x=(1,1,1)^T$，故$(A-E)(\alpha-\beta)=0$，即$\alpha-\beta=(2,0,-2)^T$是特征值1的特征向量。设$\lambda_3$为另一特征值，由$\text{tr}(A)=2$得$\lambda_3=2$。特征值2的特征空间由$(1,1,1)^T$和另一向量张成，由对称性得$A$。
**难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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