kaoyan1basic 线性代数 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 2 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个实特征向量，$\|\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\|=\|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}\|$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必为 ． （A）正定矩阵 （B）实对称矩阵 （C）正交矩阵 （D）单位矩阵
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$\|\alpha+\beta\|=\|\alpha-\beta\|$两边平方得$\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2+2\alpha\cdot\beta = \|\alpha\|^2+\|\beta\|^2-2\alpha\cdot\beta$，故$\alpha\cdot\beta=0$，即特征向量正交。实矩阵有正交的特征向量，则必为实对称矩阵。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件
已知α, β是2阶实矩阵A的两个实特征向量，且满足||α+β|| = ||α-β||。
提示：注意特征向量是非零向量。
步骤 2/4
目标：推导特征向量的正交性
将等式两边平方：||α+β||^2 = ||α-β||^2，展开得 (α+β)·(α+β) = (α-β)·(α-β)，即 ||α||^2 + ||β||^2 + 2α·β = ||α||^2 + ||β||^2 - 2α·β，化简得 4α·β = 0，所以 α·β = 0，即α与β正交。
公式：||α+β||^2 = ||α||^2 + ||β||^2 + 2α·β
提示：向量的模平方等于向量与自身的内积。
步骤 3/4
目标：判断矩阵性质
由于A是实矩阵，且有两个正交的实特征向量，则A可对角化且特征向量构成正交基。实矩阵若有正交的特征向量，则必为实对称矩阵。
提示：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，且可正交对角化。
步骤 4/4
目标：选择答案
根据以上分析，矩阵A必为实对称矩阵，故选B。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。