kaoyan1basic 线性代数 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{x}=k_{1}[-2,1,0]^{\mathrm{T}}+ k_{2}[-3,0,1]^{\mathrm{T}}, k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，求 $A^{n}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle A^n = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -2 & 4 & 6 \\ -3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$ **解析**：$Ax=0$的通解给出零特征值的特征向量空间维数为2，故特征值$0$（二重）和$\lambda$（单根）。由$\text{tr}(A)=1$得$\lambda=1$。取特征向量：$\lambda=0$时$\alpha_1=(-2,1,0)^T$，$\alpha_2=(-3,0,1)^T$；$\lambda=1$时解$(A-E)x=0$，由对称性得$\beta=(1,-2,-3)^T$。则$A = Q \Lambda Q^T$，其中$\Lambda=\text{diag}(0,0,1)$，$Q$由单位正交特征向量构成。计算得$A^n = A$，即$\displaystyle A^n = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -2 & 4 & 6 \\ -3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$。
**难度**：★★★★☆