kaoyan1basic 线性代数 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & a \\ 2 & a & 2 \\ a & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ -4\end{array}\right]$ ，线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解． （1）求常数 $a$ 的值及方程组 $A x=\beta$ 的通解； （2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=4$，通解$x=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}+k\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$；（2）$\displaystyle Q=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$ **解析**： （1）方程组有无穷多解，则$r(A)=r(A|\beta)<3$。计算$|A|=0$得$a=4$或$a=-2$。当$a=4$时，$r(A)=2$，$r(A|\beta)=2$；当$a=-2$时，$r(A)=2$，$r(A|\beta)=3$，故$a=4$。通解为$x=(1,1,-2)^T+k(-1,0,1)^T$。 （2）$A$的特征多项式$|A-\lambda E| = (\lambda-6)(\lambda-2)^2$，特征值$6,2,2$。特征向量：$\lambda=6$时$(1,1,1)^T$；$\lambda=2$时$(1,-1,0)^T$和$(1,0,-1)^T$。正交化得$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,-1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,-2)^T$，单位化得$Q$。
**难度**：★★★★☆