kaoyan1basic 线性代数 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $A=\left[\begin{array}{lll}-4 & 2 & 10 \\ -4 & 3 & a \\ -3 & 1 & 7\end{array}\right]$ ，且 $A$ 的所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量、 $B=$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$. （1）求 $a$ 的值； （2）是否存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ？若存在，求出矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，若不存在，说明理由．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=4$；（2）存在，$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$（答案不唯一） **解析**： （1）$A$只有一个线性无关的特征向量，故$A$的Jordan标准形为3阶Jordan块，特征值三重。计算特征多项式：$|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} -4-\lambda & 2 & 10 \\ -4 & 3-\lambda & a \\ -3 & 1 & 7-\lambda \end{vmatrix}$，令$\lambda=2$代入得$|A-2E|=0$，解得$a=4$。 （2）$B$的Jordan标准形为$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，$A$的特征值为2（三重），且几何重数为1，故$A$与$B$相似。求$P$：解$(A-2E)x=0$得特征向量$\xi_1=(1,1,1)^T$，解$(A-2E)x=\xi_1$得$\xi_2=(0,1,0)^T$，解$(A-2E)x=\xi_2$得$\xi_3=(1,2,1)^T$，则$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$。
**难度**：★★★★☆