kaoyan1basic 线性代数 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $A, B, C$ 是 $n$ 阶方阵，满足
$$ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{C}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-2 \boldsymbol{E}\right)=\boldsymbol{O}, r(C)+r(\boldsymbol{B})=n . $$
证明 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda}$ ，并求 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\Lambda = \begin{bmatrix} -1 & & \\ & 2 & \\ & & \ddots \end{bmatrix}$（即特征值为$-1$和$2$，其余特征值任意） **解析**：由$(A+E)C=O$知$C$的列向量属于$A+E$的零空间，故$A$有特征值$-1$，且$r(C) \leq n - r(A+E)$。由$B(A^T-2E)=O$知$B$的行向量属于$A^T-2E$的零空间，故$A^T$有特征值$2$，即$A$有特征值$2$，且$r(B) \leq n - r(A^T-2E)=n - r(A-2E)$。由$r(C)+r(B)=n$及秩不等式得$r(C)=n-r(A+E)$，$r(B)=n-r(A-2E)$，故$A$可对角化，特征值为$-1$和$2$，其余特征值任意（但需满足可对角化条件）。
**难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由已知条件推出特征值信息
由 (A+E)C=O 知 C 的列向量属于 A+E 的零空间，故 A+E 有非零解，即 det(A+E)=0，所以 -1 是 A 的特征值。同时，r(C) ≤ n - r(A+E)。由 B(A^T-2E)=O 知 B 的行向量属于 A^T-2E 的零空间，故 A^T-2E 有非零解，即 det(A^T-2E)=0，所以 2 是 A^T 的特征值，从而也是 A 的特征值。且 r(B) ≤ n - r(A^T-2E)=n - r(A-2E)。
公式：(A+E)C=O, B(A^T-2E)=O
提示：注意矩阵乘法与零空间的关系：若 XY=O，则 Y 的列向量属于 X 的零空间。
步骤 2/4
目标：利用秩条件得到秩等式
已知 r(C)+r(B)=n，结合上一步的不等式：r(C) ≤ n - r(A+E)，r(B) ≤ n - r(A-2E)。两式相加得 n ≤ 2n - r(A+E) - r(A-2E)，即 r(A+E)+r(A-2E) ≤ n。另一方面，由特征值信息知 A+E 和 A-2E 至少有一个零特征值，但秩不等式通常有 r(A+E)+r(A-2E) ≥ n（因为 (A+E) 和 (A-2E) 的零空间交于零？实际上，更精确地，由 Sylvester 不等式或考虑特征多项式，可得 r(A+E)+r(A-2E) ≥ n。因此 r(A+E)+r(A-2E)=n，从而 r(C)=n-r(A+E)，r(B)=n-r(A-2E)。
公式：r(C)+r(B)=n, r(A+E)+r(A-2E)=n
提示：利用秩不等式推导等式，注意特征值-1和2的存在保证了秩的和至少为n。
步骤 3/4
目标：证明A可对角化
由 r(C)=n-r(A+E) 知 C 的列向量张成了 A+E 的零空间，即 A+E 的零空间维数等于 r(C)，且 C 的列向量就是该零空间的一组基。同理，B 的行向量张成了 A^T-2E 的零空间，即 A-2E 的零空间维数等于 r(B)。由于 r(C)+r(B)=n，且 A+E 和 A-2E 的零空间维数之和为 n，而这两个零空间是直和（因为特征值不同），所以 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而可对角化。
公式：dim Ker(A+E)=r(C), dim Ker(A-2E)=r(B)
提示：不同特征值的特征向量线性无关，且零空间维数之和等于n时，特征向量构成一组基。
步骤 4/4
目标：确定对角矩阵Λ
由于 A 可对角化，且特征值有 -1 和 2，其余特征值任意（但需满足可对角化条件，即代数重数等于几何重数），因此 Λ 为对角矩阵，对角线上元素为 -1, 2 以及任意其他特征值。通常题目中 Λ 可写为 diag(-1, 2, λ_3, ..., λ_n)，其中 λ_i 为任意数。
公式：Λ = diag(-1, 2, λ_3, ..., λ_n)
提示：注意特征值-1和2是必须出现的，其余特征值没有具体限制，但需保证可对角化。
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