kaoyan1basic 线性代数 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶不可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 3 维线性无关列向量，满足 $A \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$ 、且 $\boldsymbol{A} \sim \Lambda$ ，则 $\Lambda=$
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$或$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ **解析**：由$A\alpha=\beta$，$A\beta=\alpha$得$A(\alpha+\beta)=\alpha+\beta$，$A(\alpha-\beta)=-(\alpha-\beta)$，故$\lambda=1$和$\lambda=-1$是特征值。由于$\alpha,\beta$线性无关，$\alpha+\beta$与$\alpha-\beta$非零且线性无关，故$A$有2个非零特征值$1$和$-1$。又$A$不可逆，故特征值$0$存在，因此$\Lambda=\text{diag}(1,-1,0)$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由已知条件推导特征向量和特征值
由 Aα=β 和 Aβ=α，计算 A(α+β)=Aα+Aβ=β+α=α+β，所以 α+β 是特征值 1 的特征向量；计算 A(α-β)=Aα-Aβ=β-α=-(α-β)，所以 α-β 是特征值 -1 的特征向量。
公式：A(α+β)=α+β, A(α-β)=-(α-β)
提示：注意利用线性组合构造特征向量。
步骤 2/4
目标：判断特征向量的线性无关性
由于 α,β 线性无关，则 α+β 与 α-β 也线性无关（若存在 k1,k2 使 k1(α+β)+k2(α-β)=0，则 (k1+k2)α+(k1-k2)β=0，由 α,β 线性无关得 k1+k2=0, k1-k2=0，解得 k1=k2=0）。因此 A 有至少两个线性无关的特征向量，对应特征值 1 和 -1。
提示：线性无关性可通过系数矩阵行列式非零判断。
步骤 3/4
目标：利用不可逆性确定第三个特征值
A 是 3 阶不可逆矩阵，所以 det(A)=0，因此 0 是 A 的特征值。结合前两步，A 的特征值为 1, -1, 0。
公式：det(A)=0 ⇒ 特征值 0
提示：不可逆矩阵必有零特征值。
步骤 4/4
目标：写出相似对角矩阵
由于 A 有三个线性无关的特征向量（α+β, α-β 以及零特征值的特征向量），A 可相似对角化，且相似对角矩阵 Λ 由特征值组成，即 Λ=diag(1,-1,0) 或 diag(-1,1,0)（顺序可调）。
公式：Λ = diag(1, -1, 0)
提示：特征值顺序不影响相似性。
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