kaoyan1basic 线性代数 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ ，且 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的单位特征向量，则与矩阵 $A+\alpha_{1} \alpha_{1}^{\mathrm{T}}$ 相似的对角矩阵为（）。 （A）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}+1 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+1\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}+1 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由于$\alpha_1, \alpha_2$是正交的单位特征向量，$A+\alpha_1\alpha_1^T$作用于$\alpha_1$得$(A+\alpha_1\alpha_1^T)\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1 + \alpha_1 = (\lambda_1+1)\alpha_1$，作用于$\alpha_2$得$(A+\alpha_1\alpha_1^T)\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2 + 0 = \lambda_2\alpha_2$，故特征值为$\lambda_1+1$和$\lambda_2$，相似对角矩阵为$\begin{bmatrix} \lambda_1+1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$。
**难度**：★★★☆☆